Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} 4 \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

Langkah 1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int_{\frac{π}{3}}^{2 π} \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

Langkah 2

Biarkan $u = \cos (x)$ . Kemudian $d u = - \sin (x) d x$ sehingga $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 2.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 π)$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$u_{upper} = \cos (0)$

Langkah 2.5.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = 1$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} - u^{3} d u$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 (- \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u)$

Langkah 4

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- 4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{3}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $u^{4}$ .

$- 4 (\frac{u^{4}}{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{u^{4}}{4}$ pada $1$ dan pada $\frac{1}{2}$ .

$- 4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

Langkah 7.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 4 (\frac{1}{4} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{4}}{4}$

Langkah 8.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{1 - \frac{1^{4}}{2^{4}}}{4}$

Langkah 8.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{2^{4}}}{4}$

Langkah 8.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{16}}{4}$

Langkah 8.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- 4 \frac{\frac{16}{16} - \frac{1}{16}}{4}$

Langkah 8.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 4 \frac{\frac{16 - 1}{16}}{4}$

Langkah 8.5

Kurangi $1$ dengan $16$ .

$- 4 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Langkah 8.6

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Langkah 8.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \cdot - 1 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Langkah 8.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{15}{16}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{15}{16}$

Bentuk Desimal:

$- 0.9375$