Kalkulus Contoh

$\int \cos^{7} (x) d x$

Langkah 1

Faktorkan $\cos^{6} (x)$ .

$\int \cos^{6} (x) \cos (x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\int {\cos (x)}^{2 (3)} \cos (x) d x$

Langkah 2.2

Tulis kembali ${\cos (x)}^{2 (3)}$ sebagai eksponensiasi.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

Langkah 3

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\cos^{2} (x)$ sebagai $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

Langkah 4

Biarkan $u = \sin (x)$ . Kemudian $d u = \cos (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = \sin (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

Langkah 5

Perluas ${(1 - u^{2})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gunakan Teorema Binomial.

$\int 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Langkah 5.2

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$\int 1 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Langkah 5.3

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Langkah 5.4

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Langkah 5.5

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) + {(- u^{2})}^{3} d u$

Langkah 5.6

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} {(- u^{2})}^{2} d u$

Langkah 5.7

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Langkah 5.8

Pindahkan $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Langkah 5.9

Pindahkan tanda kurung.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Langkah 5.10

Pindahkan tanda kurung.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Langkah 5.11

Pindahkan $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Langkah 5.12

Pindahkan tanda kurung.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Langkah 5.13

Pindahkan tanda kurung.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.14

Pindahkan $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.15

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.16

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.17

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.18

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.19

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.20

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.21

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} - 3 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.22

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.23

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.24

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.25

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.26

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.27

Buang faktor negatif.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{2} u^{2}) u^{2} d u$

Langkah 5.28

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2 + 2} u^{2} d u$

Langkah 5.29

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4} u^{2} d u$

Langkah 5.30

Buang faktor negatif.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{4} u^{2}) d u$

Langkah 5.31

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4 + 2} d u$

Langkah 5.32

Tambahkan $4$ dan $2$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Langkah 5.33

Susun kembali $1$ dan $- 3 u^{2}$ .

$\int - 3 u^{2} + 1 + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Langkah 5.34

Pindahkan $1$ .

$\int - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 - u^{6} d u$

Langkah 5.35

Susun kembali $- 3 u^{2}$ dan $3 u^{4}$ .

$\int 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 - u^{6} d u$

Langkah 5.36

Pindahkan $1$ .

$\int 3 u^{4} - 3 u^{2} - u^{6} + 1 d u$

Langkah 5.37

Pindahkan $- 3 u^{2}$ .

$\int 3 u^{4} - u^{6} - 3 u^{2} + 1 d u$

Langkah 5.38

Susun kembali $3 u^{4}$ dan $- u^{6}$ .

$\int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{6}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Langkah 9

Karena $3$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 \int u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Langkah 11

Karena $- 3$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 \int u^{2} d u + \int d u$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Langkah 13

Terapkan aturan konstanta.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Gabungkan $\frac{1}{7}$ dan $u^{7}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Langkah 14.1.2

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Langkah 14.1.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Langkah 14.2

Sederhanakan.

$- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u + C$

Langkah 15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin^{7} (x)}{7} + \frac{3 \sin^{5} (x)}{5} - \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

Langkah 16

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{7} \sin^{7} (x) + \frac{3}{5} \sin^{5} (x) - \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$