Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{9 - x^{2}}} d x d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 3 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 3 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ positif.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Langkah 2.1.1.3

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $9$ dari $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $9$ dari $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $9 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))} (3 \cos (t)) d t d x$

Langkah 2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 \cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $3 \cos (t)$ dari ${(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))$ .

$\int \frac{1}{3 \cos (t) ({(3 \sin (t))}^{2})} (3 \cos (t)) d t d x$

Langkah 2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t d x$

Langkah 2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2}} d t d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} d t d x$

Langkah 2.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 (\sin (t))$ .

$\int \frac{1}{3^{2} \sin^{2} (t)} d t d x$

Langkah 2.2.2.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{9 \sin^{2} (t)} d t d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{9}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{9}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Konversikan dari $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ ke $\csc^{2} (t)$ .

$\frac{1}{9} \int \csc^{2} (t) d t d x$

Langkah 4.2

Gabungkan $d$ dan $\frac{1}{9}$ .

$\frac{d}{9} \int \csc^{2} (t) d t x$

Langkah 4.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{d}{9}$ .

$\frac{x d}{9} \int \csc^{2} (t) d t$

Langkah 5

Karena turunan dari $- \cot (t)$ adalah $\csc^{2} (t)$ , maka integral dari $\csc^{2} (t)$ adalah $- \cot (t)$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$ sebagai $\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$ .

$\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan $\frac{1}{9}$ dan $x$ .

$\frac{x}{9} d (- \cot (t)) + C$

Langkah 6.2.2

Gabungkan $\frac{x}{9}$ dan $d$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t)) + C$

Langkah 6.2.3

Gabungkan $\frac{x d}{9}$ dan $\cot (t)$ .

$- \frac{x d \cot (t)}{9} + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \frac{x d \cot (\arcsin (\frac{x}{3}))}{9} + C$

Langkah 8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\arcsin (\frac{x}{3})$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . Oleh karena itu, $\cot (\arcsin (\frac{x}{3}))$ adalah $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}}{9} + C$

Langkah 8.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{x d (\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Langkah 8.3

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Langkah 8.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = \frac{x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Langkah 8.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{x d (\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Langkah 8.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Langkah 8.7

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Langkah 8.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Langkah 8.9

Kalikan $\frac{3 + x}{3}$ dengan $\frac{3 - x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Langkah 8.10

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Langkah 8.11

Tulis kembali $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ sebagai ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.11.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $(3 + x) (3 - x)$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Langkah 8.11.2

Faktorkan kuadrat sempurna $3^{2}$ dari $9$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Langkah 8.11.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} \frac{3}{x})}{9} + C$

Langkah 8.12

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$- \frac{x d (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{3}{x})}{9} + C$

Langkah 8.13

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

Langkah 8.14

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.14.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

Langkah 8.14.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{x d (\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{1}{x})}{9} + C$

Langkah 8.15

Gabungkan $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Langkah 8.16

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.16.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{d \frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Langkah 8.16.2

Gabungkan $d$ dan $\frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{\frac{d (x \sqrt{(3 + x) (3 - x)})}{x}}{9} + C$

Langkah 8.17

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Langkah 8.18

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.18.1

Kurangi pernyataan $\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.18.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Langkah 8.18.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{\frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{1}}{9} + C$

Langkah 8.18.2

Bagilah $d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ dengan $1$ .

$- \frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{9} + C$

$- \frac{1}{9} d \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + C$