Kalkulus Contoh

$\int \tan^{4} (2 x) \sec^{4} (2 x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \tan^{4} (u_{1}) \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\tan^{4} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1})}{2} \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{\tan^{4} (u_{1})}{2}$ dan $\sec^{4} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1}) \sec^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2$ ditambah $2$

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

Langkah 4.2

Tulis kembali ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ sebagai $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) (\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})) d u_{1}$

Langkah 5

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sec^{2} (u_{1})$ sebagai $1 + \tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) ((1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1})) d u_{1}$

Langkah 6

Biarkan $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Langkah 6.1.2

Turunan dari $\tan (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Langkah 7

Kalikan ${u_{2}}^{4} (1 + {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} \cdot 1 + {u_{2}}^{4} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan ${u_{2}}^{4}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 8.2

Kalikan ${u_{2}}^{4}$ dengan ${u_{2}}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4 + 2} d u_{2}$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $4$ dan $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{6} d u_{2})$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{4}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int {u_{2}}^{6} d u_{2})$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{6}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}) + C$

Langkah 13

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \tan^{5} (u_{1}) + \frac{1}{7} \tan^{7} (u_{1})) + C$

Langkah 13.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \tan^{5} (2 x) + \frac{1}{7} \tan^{7} (2 x)) + C$