Kalkulus Contoh

$\int \sin^{7} (x) \cos^{5} (x) d x$

Langkah 1

Faktorkan $\cos^{4} (x)$ .

$\int \sin^{7} (x) (\cos^{4} (x) \cos (x)) d x$

Langkah 2

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\int \sin^{7} (x) ({\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x)) d x$

Langkah 2.2

Tulis kembali ${\cos (x)}^{2 (2)}$ sebagai eksponensiasi.

$\int \sin^{7} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Langkah 3

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\cos^{2} (x)$ sebagai $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{7} (x) ({(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Langkah 4

Biarkan $u = \sin (x)$ . Kemudian $d u = \cos (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = \sin (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int u^{7} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Langkah 5

Perluas $u^{7} {(1 - u^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali ${(1 - u^{2})}^{2}$ sebagai $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int u^{7} ((1 - u^{2}) (1 - u^{2})) d u$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$\int u^{7} (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Langkah 5.3

Terapkan sifat distributif.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Langkah 5.4

Terapkan sifat distributif.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Langkah 5.5

Terapkan sifat distributif.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Langkah 5.6

Terapkan sifat distributif.

$\int u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Langkah 5.7

Terapkan sifat distributif.

$\int u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Langkah 5.8

Pindahkan $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Langkah 5.9

Pindahkan tanda kurung.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 \cdot - 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Langkah 5.10

Pindahkan $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Langkah 5.11

Pindahkan $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1 u^{2}) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Langkah 5.12

Pindahkan tanda kurung.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Langkah 5.13

Pindahkan $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Langkah 5.14

Pindahkan $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Langkah 5.15

Pindahkan tanda kurung.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Langkah 5.16

Pindahkan tanda kurung.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.17

Pindahkan $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.18

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\int 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.19

Kalikan $u^{7}$ dengan $1$ .

$\int u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.20

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\int u^{7} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.21

Buang faktor negatif.

$\int u^{7} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.22

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{7} - u^{7 + 2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.23

Tambahkan $7$ dan $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.24

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.25

Buang faktor negatif.

$\int u^{7} - u^{9} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.26

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{7 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.27

Tambahkan $7$ dan $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.28

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.29

Kalikan $u^{7}$ dengan $1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.30

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7 + 2} u^{2} d u$

Langkah 5.31

Tambahkan $7$ dan $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

Langkah 5.32

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9 + 2} d u$

Langkah 5.33

Tambahkan $9$ dan $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{11} d u$

Langkah 5.34

Kurangi $u^{9}$ dengan $- u^{9}$ .

$\int u^{7} - 2 u^{9} + u^{11} d u$

Langkah 5.35

Susun kembali $- 2 u^{9}$ dan $u^{11}$ .

$\int u^{7} + u^{11} - 2 u^{9} d u$

Langkah 5.36

Pindahkan $u^{7}$ .

$\int u^{11} - 2 u^{9} + u^{7} d u$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int u^{11} d u + \int - 2 u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{11}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C + \int - 2 u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Langkah 8

Karena $- 2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 \int u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{9}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{1}{10} u^{10} + C) + \int u^{7} d u$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{7}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{1}{10} u^{10} + C) + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{1}{10}$ dan $u^{10}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{u^{10}}{10} + C) + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Langkah 11.2

Sederhanakan.

$\frac{u^{12}}{12} - \frac{u^{10}}{5} + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{12} (x)}{12} - \frac{\sin^{10} (x)}{5} + \frac{1}{8} \sin^{8} (x) + C$

Langkah 13

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{12} \sin^{12} (x) - \frac{1}{5} \sin^{10} (x) + \frac{1}{8} \sin^{8} (x) + C$