Kalkulus Contoh

$\int r e^{\frac{r}{2}} d r$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = r$ dan $d v = e^{\frac{r}{2}}$ .

$r (2 e^{\frac{1}{2} r}) - \int 2 e^{\frac{1}{2} r} d r$

Langkah 2

Karena $2$ konstan terhadap $r$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$r (2 e^{\frac{1}{2} r}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} r} d r)$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $r$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} r} d r)$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $r$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - (2 \int e^{\frac{r}{2}} d r)$

Langkah 3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int e^{\frac{r}{2}} d r$

Langkah 4

Biarkan $u = \frac{r}{2}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{2} d r$ sehingga $2 d u = d r$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = \frac{r}{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d r}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\frac{r}{2}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{r}{2}]$

Langkah 4.1.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $r$ , turunan dari $\frac{r}{2}$ terhadap $r$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [r]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ adalah $n r^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{2}$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Langkah 5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int e^{u} \cdot 2 d u$

Langkah 5.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{u}$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int 2 e^{u} d u$

Langkah 6

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 (2 \int e^{u} d u)$

Langkah 7

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 4 \int e^{u} d u$

Langkah 8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$

Langkah 9

Tulis kembali $r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$ sebagai $2 r e^{\frac{r}{2}} - 4 e^{u} + C$ .

$2 r e^{\frac{r}{2}} - 4 e^{u} + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{r}{2}$ .

$2 r e^{\frac{r}{2}} - 4 e^{\frac{r}{2}} + C$

Langkah 11

Susun kembali suku-suku.

$2 r e^{\frac{1}{2} r} - 4 e^{\frac{1}{2} r} + C$