Kalkulus Contoh

$\int \frac{10 x^{3} - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Langkah 1

Faktorkan $5 x$ dari $10 x^{3} - 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $5 x$ dari $10 x^{3}$ .

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Langkah 1.2

Faktorkan $5 x$ dari $- 5 x$ .

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Langkah 1.3

Faktorkan $5 x$ dari $5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)$ .

$\int \frac{5 x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Langkah 2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$5 \int \frac{x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Langkah 3

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{\sqrt{u_{1}}}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ sebagai ${u_{1}}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 4.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 4.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{4}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 4.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 4.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 4.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 4.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2}{1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 4.1.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 4.2

Kalikan $\frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6} \cdot 2} d u_{1}$

Langkah 4.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{2 \sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$5 (\frac{1}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1})$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $5$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

Langkah 7

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ . Kemudian $d u_{2} = (2 u_{1} - 1) d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2 u_{1} - 1} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6]$

Langkah 7.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Langkah 7.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Langkah 7.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $- u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 u_{1} - \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Langkah 7.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 u_{1} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Langkah 7.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 u_{1} - 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Langkah 7.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Karena $6$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $6$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$2 u_{1} - 1 + 0$

Langkah 7.1.4.2

Tambahkan $2 u_{1} - 1$ dan $0$ .

$2 u_{1} - 1$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Langkah 8

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{2}}$ sebagai ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Langkah 8.2

Pindahkan ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Langkah 8.3

Kalikan eksponen dalam ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Langkah 8.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali $\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ sebagai $\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $2$ .

$\frac{5 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 10.2.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{10}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 10.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 10.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 10.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 10.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 10.2.3.2.4

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$5 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 11

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ .

$5 {({u_{1}}^{2} - u_{1} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 11.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$5 {({(x^{2})}^{2} - x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$