Kalkulus Contoh

$\int \frac{6 x^{3}}{2 x^{4} + 1} d x$

Langkah 1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$6 \int \frac{x^{3}}{2 x^{4} + 1} d x$

Langkah 2

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{4})}^{1}$ .

$6 \int \frac{x^{3}}{2 {(x^{4})}^{1} + 1} d x$

Langkah 3

Biarkan $u_{1} = x^{4}$ . Kemudian $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u_{1} = x^{4}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$6 \int \frac{1}{2 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan.

$6 \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Langkah 4.2

Kalikan $\frac{1}{2 u_{1} + 1}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$6 \int \frac{1}{(2 u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1}$

Langkah 4.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $2 u_{1} + 1$ .

$6 \int \frac{1}{4 (2 u_{1} + 1)} d u_{1}$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $6$ .

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Langkah 6.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Langkah 6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Langkah 6.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Langkah 7

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1} + 1$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $2 u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1} + 1]$

Langkah 7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 u_{1} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Langkah 7.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $2 u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Langkah 7.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Langkah 7.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Langkah 7.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $1$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 7.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 8.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 10.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 11

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

$\frac{3}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 13

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 u_{1} + 1$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 u_{1} + 1 |) + C$

Langkah 13.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{4}$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 x^{4} + 1 |) + C$