Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} - 4}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = \frac{2}{3} \sec (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2 \sec (t)}{3})}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Langkah 2.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2 \sec (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{{(2 \sec (t))}^{2}}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Langkah 2.1.1.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{2^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Langkah 2.1.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Langkah 2.1.1.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Langkah 2.1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Langkah 2.1.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $4$ dari $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $4$ dari $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $4 \tan^{2} (t)$ sebagai ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{1}{2 \tan (t)} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan $\frac{1}{2 \tan (t)}$ dengan $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ .

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{2 \tan (t) \cdot 3} d t$

Langkah 2.2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{6 \tan (t)} d t$

Langkah 2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{6 \tan (t)} d t$

Langkah 2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

Langkah 2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

Langkah 2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

Langkah 2.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\tan (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

Langkah 2.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{\sec (t)}{3} d t$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int \sec (t) d t$

Langkah 4

Integral dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

Langkah 5

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $arcsec (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3 x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{3 x}{2})) |) + C$

Langkah 7

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3}{2} x)) + \tan (arcsec (\frac{3}{2} x)) |) + C$