Kalkulus Contoh

$f (x) = 5 \sqrt{x^{5}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x^{5}}]$ sebagai $\frac{d}{d x} [5 (x^{2} \sqrt{x})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali $x^{5}$ sebagai ${(x^{2})}^{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Faktorkan $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{x^{4} x})$

Langkah 1.1.1.2

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{{(x^{2})}^{2} x})$

Langkah 1.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} \sqrt{x}))$

Langkah 1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 + \frac{1}{2}})$

Langkah 1.3.2

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})$

Langkah 1.3.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})$

Langkah 1.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})$

Langkah 1.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{4 + 1}{2}})$

Langkah 1.3.5.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{5}{2}})$

Langkah 1.4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{\frac{5}{2}}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{2}})$

Langkah 1.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{5}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Langkah 1.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 1.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Langkah 1.9.2

Kurangi $2$ dengan $5$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Langkah 1.10

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

Langkah 1.11

Gabungkan $5$ dan $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Langkah 1.12

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$f' (x) = \frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $\frac{25}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{25}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Langkah 2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Langkah 2.6.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2.7

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 2.8

Kalikan $\frac{25}{2}$ dengan $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.9

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Kalikan $3$ dengan $25$ .

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.9.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $\frac{75}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{75}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 3.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 3.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 3.9

Kalikan $\frac{75}{4}$ dengan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2}$

Langkah 3.10

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{8}$

Langkah 3.10.2

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4

Cari turunan keempat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $\frac{75}{8}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{75}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 4.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Langkah 4.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Langkah 4.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 4.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Langkah 4.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 4.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 4.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Langkah 4.7.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Langkah 4.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Langkah 4.9

Gabungkan $x^{- \frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Langkah 4.10

Kalikan $\frac{75}{8}$ dengan $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{8 \cdot 2}$

Langkah 4.11

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Kalikan $8$ dengan $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{16}$

Langkah 4.11.2

Pindahkan $x^{- \frac{3}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5

Turunan keempat dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$