Kalkulus Contoh

$\sin (\frac{x}{2})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Langkah 1.2.4

Kalikan $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 2.3.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Langkah 2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $- \frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$- \frac{1}{4} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gabungkan $\cos (\frac{x}{2})$ dan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 3.3.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{4} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2 \cdot 4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.3.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8} \cdot 1$

Langkah 3.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f''' (x) = - \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8}$

Langkah 4

Cari turunan keempat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $- \frac{1}{8}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Langkah 4.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- \frac{1}{8} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{8} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Langkah 4.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{8}) (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Langkah 4.3.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{8}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{8} (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Langkah 4.3.2.2

Gabungkan $\sin (\frac{x}{2})$ dan $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 4.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{8} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.3.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{8}$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 8} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{16} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{16} \cdot 1$

Langkah 4.3.6

Kalikan $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{16}$ dengan $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{16}$