Kalkulus Contoh

$y = 4 x - \ln (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$4 - \frac{1}{x}$

Langkah 1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 4$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{x} + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.2.6

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.2.7

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.2.8

Tambahkan $x^{- 2}$ dan $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Langkah 3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Langkah 3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Langkah 3.3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f''' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 4

Cari turunan keempat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{2}{x^{3}}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Langkah 4.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{3}}$ sebagai ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Langkah 4.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Langkah 4.2.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 3$ .

$- 2 (- 3 x^{- 4})$

Langkah 4.4

Kalikan $- 3$ dengan $- 2$ .

$6 x^{- 4}$

Langkah 4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{x^{4}}$

Langkah 4.5.2

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{6}{x^{4}}$