Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x}{4 - 7 x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = 4 - 7 x$ .

$\frac{(4 - 7 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(4 - 7 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Langkah 1.2.2

Kalikan $4 - 7 x$ dengan $1$ .

$\frac{4 - 7 x - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Langkah 1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - 7 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{4 - 7 x - x (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 7 x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Langkah 1.2.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{4 - 7 x - x (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Langkah 1.2.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{4 - 7 x - x \frac{d}{d x} [- 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Langkah 1.2.6

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7 x$ terhadap $x$ adalah $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 - 7 x - x (- 7 \frac{d}{d x} [x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Langkah 1.2.7

Kalikan $- 7$ dengan $- 1$ .

$\frac{4 - 7 x + 7 x \frac{d}{d x} [x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Langkah 1.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{4 - 7 x + 7 x \cdot 1}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Langkah 1.2.9

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.1

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$\frac{4 - 7 x + 7 x}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Langkah 1.2.9.2

Tambahkan $- 7 x$ dan $7 x$ .

$\frac{4 + 0}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Langkah 1.2.9.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.3.1

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\frac{4}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Langkah 1.2.9.3.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{4}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}]$

Langkah 2.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$ sebagai ${({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

Langkah 2.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Langkah 2.1.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = - 7 x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 7 x + 4$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 7 x + 4$ .

$4 (- 2 {(- 7 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$- 8 ({(- 7 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 7 x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 2.3.3

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7 x$ terhadap $x$ adalah $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 2.3.5

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 2.3.6

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 + 0)$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Tambahkan $- 7$ dan $0$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} \cdot - 7$

Langkah 2.3.7.2

Kalikan $- 7$ dengan $- 8$ .

$56 {(- 7 x + 4)}^{- 3}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$56 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.4.2

Gabungkan $56$ dan $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{56}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Karena $56$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{56}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ terhadap $x$ adalah $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}]$ .

$56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}]$

Langkah 3.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ sebagai ${({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

$56 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}]$

Langkah 3.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$56 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{3 \cdot - 1}]$

Langkah 3.1.2.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$56 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 3}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 3}$ dan $g (x) = - 7 x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 7 x + 4$ .

$56 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 3$ .

$56 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 7 x + 4$ .

$56 (- 3 {(- 7 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan $- 3$ dengan $56$ .

$- 168 ({(- 7 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Langkah 3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 7 x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 3.3.3

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7 x$ terhadap $x$ adalah $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 3.3.5

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 3.3.6

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 + 0)$

Langkah 3.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1

Tambahkan $- 7$ dan $0$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} \cdot - 7$

Langkah 3.3.7.2

Kalikan $- 7$ dengan $- 168$ .

$1176 {(- 7 x + 4)}^{- 4}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1176 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.4.2

Gabungkan $1176$ dan $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{1176}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$

Langkah 4

Cari turunan keempat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Karena $1176$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1176}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ terhadap $x$ adalah $1176 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}]$ .

$1176 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}]$

Langkah 4.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ sebagai ${({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

$1176 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}]$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1176 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{4 \cdot - 1}]$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$1176 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 4}]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 4}$ dan $g (x) = - 7 x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 7 x + 4$ .

$1176 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 4$ .

$1176 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 7 x + 4$ .

$1176 (- 4 {(- 7 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Langkah 4.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $- 4$ dengan $1176$ .

$- 4704 ({(- 7 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Langkah 4.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 7 x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 4.3.3

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7 x$ terhadap $x$ adalah $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 4.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 4.3.5

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 4.3.6

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 + 0)$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Tambahkan $- 7$ dan $0$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} \cdot - 7$

Langkah 4.3.7.2

Kalikan $- 7$ dengan $- 4704$ .

$32928 {(- 7 x + 4)}^{- 5}$

Langkah 4.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$32928 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$

Langkah 4.4.2

Gabungkan $32928$ dan $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$

Langkah 5

Turunan keempat dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$ .

$\frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$