Kalkulus Contoh

$f (x) = {(2 x + 7)}^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = 2 x + 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 7$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 7$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Langkah 1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Langkah 1.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [7])$

Langkah 1.2.5

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 + 0)$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} \cdot 2$

Langkah 1.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f' (x) = 6 {(2 x + 7)}^{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(2 x + 7)}^{2}$ sebagai $(2 x + 7) (2 x + 7)$ .

$\frac{d}{d x} [6 ((2 x + 7) (2 x + 7))]$

Langkah 2.2

Perluas $(2 x + 7) (2 x + 7)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x + 7) + 7 (2 x + 7))]$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x + 7))]$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $7$ dengan $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 14 x + 7 \cdot 7)]$

Langkah 2.3.1.6

Kalikan $7$ dengan $7$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 14 x + 49)]$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $14 x$ dan $14 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 28 x + 49)]$

Langkah 2.4

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 (4 x^{2} + 28 x + 49)$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 28 x + 49]$ .

$6 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 28 x + 49]$

Langkah 2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} + 28 x + 49$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$6 (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Langkah 2.6

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Langkah 2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Langkah 2.8

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$6 (8 x + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Langkah 2.9

Karena $28$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $28 x$ terhadap $x$ adalah $28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (8 x + 28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49])$

Langkah 2.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 (8 x + 28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49])$

Langkah 2.11

Kalikan $28$ dengan $1$ .

$6 (8 x + 28 + \frac{d}{d x} [49])$

Langkah 2.12

Karena $49$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $49$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 (8 x + 28 + 0)$

Langkah 2.13

Tambahkan $8 x + 28$ dan $0$ .

$6 (8 x + 28)$

Langkah 2.14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.14.1

Terapkan sifat distributif.

$6 (8 x) + 6 \cdot 28$

Langkah 2.14.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.14.2.1

Kalikan $8$ dengan $6$ .

$48 x + 6 \cdot 28$

Langkah 2.14.2.2

Kalikan $6$ dengan $28$ .

$f'' (x) = 48 x + 168$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $48 x + 168$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [168]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [168]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $48$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $48 x$ terhadap $x$ adalah $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [168]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [168]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $48$ dengan $1$ .

$48 + \frac{d}{d x} [168]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $168$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $168$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$48 + 0$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $48$ dan $0$ .

$f''' (x) = 48$

Langkah 4

Karena $48$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $48$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Langkah 5

Turunan keempat dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$