Kalkulus Contoh

$f (x) = {(2 x + 1)}^{4}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = 2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 1$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 1.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 1.2.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + 0)$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} \cdot 2$

Langkah 1.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$f' (x) = 8 {(2 x + 1)}^{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 {(2 x + 1)}^{3}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{3})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = 2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 8 (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$f'' (x) = 24 ({(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 2.3.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2$

Langkah 2.3.7.2

Kalikan $2$ dengan $24$ .

$f'' (x) = 48 {(2 x + 1)}^{2}$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali ${(2 x + 1)}^{2}$ sebagai $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 ((2 x + 1) (2 x + 1)))$

Langkah 3.2

Perluas $(2 x + 1) (2 x + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)))$

Langkah 3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)))$

Langkah 3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Langkah 3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Langkah 3.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Langkah 3.3.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Langkah 3.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Langkah 3.3.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Langkah 3.3.1.5

Kalikan $2 x$ dengan $1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1))$

Langkah 3.3.1.6

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1))$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 4 x + 1))$

Langkah 3.4

Karena $48$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $48 (4 x^{2} + 4 x + 1)$ terhadap $x$ adalah $48 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1]$ .

$f''' (x) = 48 \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 4 x + 1)$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} + 4 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 48 (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 3.6

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 48 (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f''' (x) = 48 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 3.8

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 3.9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 3.11

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 3.12

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 + 0)$

Langkah 3.13

Tambahkan $8 x + 4$ dan $0$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4)$

Langkah 3.14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.1

Terapkan sifat distributif.

$f''' (x) = 48 (8 x) + 48 \cdot 4$

Langkah 3.14.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.2.1

Kalikan $8$ dengan $48$ .

$f''' (x) = 384 x + 48 \cdot 4$

Langkah 3.14.2.2

Kalikan $48$ dengan $4$ .

$f''' (x) = 384 x + 192$

Langkah 4

Cari turunan keempat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $384 x + 192$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [384 x] + \frac{d}{d x} [192]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (384 x) + \frac{d}{d x} (192)$

Langkah 4.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [384 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $384$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $384 x$ terhadap $x$ adalah $384 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 384 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (192)$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 384 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (192)$

Langkah 4.2.3

Kalikan $384$ dengan $1$ .

$f^{4} (x) = 384 + \frac{d}{d x} (192)$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $192$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $192$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f^{4} (x) = 384 + 0$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $384$ dan $0$ .

$f^{4} (x) = 384$

Langkah 5

Turunan keempat dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $384$ .

$384$