Kalkulus Contoh

$f (x) = {(8 x + 9)}^{4}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = 8 x + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $8 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [8 x + 9]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [8 x + 9]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $8 x + 9$ .

$4 {(8 x + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [8 x + 9]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 x + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$4 {(8 x + 9)}^{3} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 1.2.2

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(8 x + 9)}^{3} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 {(8 x + 9)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 1.2.4

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$4 {(8 x + 9)}^{3} (8 + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 1.2.5

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 {(8 x + 9)}^{3} (8 + 0)$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$4 {(8 x + 9)}^{3} \cdot 8$

Langkah 1.2.6.2

Kalikan $8$ dengan $4$ .

$f' (x) = 32 {(8 x + 9)}^{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $32$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $32 {(8 x + 9)}^{3}$ terhadap $x$ adalah $32 \frac{d}{d x} [{(8 x + 9)}^{3}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [{(8 x + 9)}^{3}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = 8 x + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $8 x + 9$ .

$32 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [8 x + 9])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$32 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 9])$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $8 x + 9$ .

$32 (3 {(8 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 9])$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $3$ dengan $32$ .

$96 ({(8 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 9])$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 x + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$96 {(8 x + 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 2.3.3

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$96 {(8 x + 9)}^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$96 {(8 x + 9)}^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 2.3.5

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$96 {(8 x + 9)}^{2} (8 + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 2.3.6

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$96 {(8 x + 9)}^{2} (8 + 0)$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$96 {(8 x + 9)}^{2} \cdot 8$

Langkah 2.3.7.2

Kalikan $8$ dengan $96$ .

$f'' (x) = 768 {(8 x + 9)}^{2}$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali ${(8 x + 9)}^{2}$ sebagai $(8 x + 9) (8 x + 9)$ .

$\frac{d}{d x} [768 ((8 x + 9) (8 x + 9))]$

Langkah 3.2

Perluas $(8 x + 9) (8 x + 9)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x + 9) + 9 (8 x + 9))]$

Langkah 3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x + 9))]$

Langkah 3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

Langkah 3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

Langkah 3.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

Langkah 3.3.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 x^{2} + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

Langkah 3.3.1.3

Kalikan $8$ dengan $8$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

Langkah 3.3.1.4

Kalikan $9$ dengan $8$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 72 x + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

Langkah 3.3.1.5

Kalikan $8$ dengan $9$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 72 x + 72 x + 9 \cdot 9)]$

Langkah 3.3.1.6

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 72 x + 72 x + 81)]$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $72 x$ dan $72 x$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 144 x + 81)]$

Langkah 3.4

Karena $768$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $768 (64 x^{2} + 144 x + 81)$ terhadap $x$ adalah $768 \frac{d}{d x} [64 x^{2} + 144 x + 81]$ .

$768 \frac{d}{d x} [64 x^{2} + 144 x + 81]$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $64 x^{2} + 144 x + 81$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [144 x] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$768 (\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [144 x] + \frac{d}{d x} [81])$

Langkah 3.6

Karena $64$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $64 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$768 (64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [144 x] + \frac{d}{d x} [81])$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$768 (64 (2 x) + \frac{d}{d x} [144 x] + \frac{d}{d x} [81])$

Langkah 3.8

Kalikan $2$ dengan $64$ .

$768 (128 x + \frac{d}{d x} [144 x] + \frac{d}{d x} [81])$

Langkah 3.9

Karena $144$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $144 x$ terhadap $x$ adalah $144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$768 (128 x + 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [81])$

Langkah 3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$768 (128 x + 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [81])$

Langkah 3.11

Kalikan $144$ dengan $1$ .

$768 (128 x + 144 + \frac{d}{d x} [81])$

Langkah 3.12

Karena $81$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $81$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$768 (128 x + 144 + 0)$

Langkah 3.13

Tambahkan $128 x + 144$ dan $0$ .

$768 (128 x + 144)$

Langkah 3.14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.1

Terapkan sifat distributif.

$768 (128 x) + 768 \cdot 144$

Langkah 3.14.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.2.1

Kalikan $128$ dengan $768$ .

$98304 x + 768 \cdot 144$

Langkah 3.14.2.2

Kalikan $768$ dengan $144$ .

$f''' (x) = 98304 x + 110592$

Langkah 4

Cari turunan keempat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $98304 x + 110592$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [98304 x] + \frac{d}{d x} [110592]$ .

$\frac{d}{d x} [98304 x] + \frac{d}{d x} [110592]$

Langkah 4.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [98304 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $98304$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $98304 x$ terhadap $x$ adalah $98304 \frac{d}{d x} [x]$ .

$98304 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [110592]$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$98304 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [110592]$

Langkah 4.2.3

Kalikan $98304$ dengan $1$ .

$98304 + \frac{d}{d x} [110592]$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $110592$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $110592$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$98304 + 0$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $98304$ dan $0$ .

$f^{4} (x) = 98304$

Langkah 5

Turunan keempat dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $98304$ .

$98304$