Kalkulus Contoh

$f (x) = \cos^{2} (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Langkah 1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Langkah 1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \cos (x) \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.4

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.5

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.8

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Langkah 2.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Langkah 2.10

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Langkah 2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Langkah 2.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Langkah 2.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x))$

Langkah 2.13.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \cos^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - 2 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f''' (x) = - 2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Langkah 3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Langkah 3.2.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - 2 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Langkah 3.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f''' (x) = - 2 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \sin^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x))$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\sin (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Langkah 3.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sin (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Langkah 3.3.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

Langkah 3.3.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$

Langkah 3.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 4 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $4 \cos (x) \sin (x)$ dan $4 \cos (x) \sin (x)$ .

$f''' (x) = 8 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 4

Cari turunan keempat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 \cos (x) \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = 8 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Langkah 4.2

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 4.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 4.4

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 4.5

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 4.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f^{4} (x) = 8 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 4.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 4.8

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Langkah 4.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Langkah 4.10

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Langkah 4.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Langkah 4.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Langkah 4.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.13.1

Terapkan sifat distributif.

$f^{4} (x) = 8 \cos^{2} (x) + 8 (- \sin^{2} (x))$

Langkah 4.13.2

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$f^{4} (x) = 8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$

Langkah 5

Turunan keempat dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$ .

$8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$