Kalkulus Contoh

$\int (t^{2} + t) \cos (3 t) d t$

Langkah 1

Terapkan sifat distributif.

$\int t^{2} \cos (3 t) + t \cos (3 t) d t$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int t^{2} \cos (3 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t^{2}$ dan $d v = \cos (3 t)$ .

$t^{2} (\frac{1}{3} \sin (3 t)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\sin (3 t)$ .

$t^{2} \frac{\sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 4.2

Gabungkan $t^{2}$ dan $\frac{\sin (3 t)}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{3} \cdot 2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{3} \cdot 2$ keluar dari integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int \sin (3 t) (t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $2$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} \int \sin (3 t) (t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 7

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t$ dan $d v = \sin (3 t)$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (t (- \frac{1}{3} \cos (3 t)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\cos (3 t)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (t (- \frac{\cos (3 t)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 8.2

Gabungkan $t$ dan $\frac{\cos (3 t)}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 8.3

Gabungkan $\cos (3 t)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - \int - \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - - \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + 1 \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 10.2

Kalikan $\int \frac{\cos (3 t)}{3} d t$ dengan $1$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 12

Biarkan $u_{1} = 3 t$ . Kemudian $d u_{1} = 3 d t$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Biarkan $u_{1} = 3 t$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Diferensialkan $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Langkah 12.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 12.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 12.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 12.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 13

Gabungkan $\cos (u_{1})$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{1})}{3} d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 14

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 15.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 16

Integral dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sin (u_{1})$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \int t \cos (3 t) d t$

Langkah 17

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t$ dan $d v = \cos (3 t)$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + t (\frac{1}{3} \sin (3 t)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

Langkah 18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\sin (3 t)$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + t \frac{\sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

Langkah 18.2

Gabungkan $t$ dan $\frac{\sin (3 t)}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

Langkah 19

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t)$

Langkah 20

Biarkan $u_{2} = 3 t$ . Kemudian $d u_{2} = 3 d t$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Biarkan $u_{2} = 3 t$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1.1

Diferensialkan $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Langkah 20.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 20.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 20.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 20.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 21

Gabungkan $\sin (u_{2})$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

Langkah 22

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 23

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 23.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 24

Integral dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u_{2}) + C)$

Langkah 25

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1

Sederhanakan.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u_{2})) + C$

Langkah 25.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + 1 (\frac{1}{9}) \cos (u_{2}) + C$

Langkah 25.2.2

Kalikan $\frac{1}{9}$ dengan $1$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{1}{9} \cos (u_{2}) + C$

Langkah 25.2.3

Gabungkan $\frac{1}{9}$ dan $\cos (u_{2})$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (u_{2})}{9} + C$

Langkah 26

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 t$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (3 t)}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (u_{2})}{9} + C$

Langkah 26.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 t$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (3 t)}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (3 t)}{9} + C$

Langkah 27

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} t^{2} \sin (3 t) + \frac{2}{9} t \cos (3 t) - \frac{2}{27} \sin (3 t) + \frac{1}{3} t \sin (3 t) + \frac{1}{9} \cos (3 t) + C$