Kalkulus Contoh

$\int \frac{2 x^{2} - x + 4}{x^{3} + 4 x} d x$

Langkah 1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3} + 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x \cdot x^{2} + 4 x}$

Langkah 1.1.1.2

Faktorkan $x$ dari $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot 4}$

Langkah 1.1.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x (x^{2} + 4)}$

Langkah 1.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. Karena faktornya adalah urutan ke-2, $2$ suku diperlukan pada pembilangnya. Jumlah suku yang diperlukan pada pembilang selalu sama dengan urutan faktor pada penyebutnya.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $x (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.1.5.2

Bagilah $2 x^{2} - x + 4$ dengan $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 x^{2} - x + 4 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.1.6.1.2

Bagilah $A (x^{2} + 4)$ dengan $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.1.6.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $A$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.1.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.1.6.4.2

Bagilah $(B x + C) (x)$ dengan $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x)$

Langkah 1.1.6.5

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + C x$

Langkah 1.1.6.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.6.1

Pindahkan $x$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + C x$

Langkah 1.1.6.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + C x$

Langkah 1.1.7

Pindahkan $4 A$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 4 A$

Langkah 1.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x^{2}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$2 = A + B$

Langkah 1.2.2

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$- 1 = C$

Langkah 1.2.3

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$4 = 4 A$

Langkah 1.2.4

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$2 = A + B$

$- 1 = C$

$4 = 4 A$

$2 = A + B$

$- 1 = C$

$4 = 4 A$

Langkah 1.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C = - 1$ .

$C = - 1$

$2 = A + B$

$4 = 4 A$

Langkah 1.3.2

Substitusikan semua kemunculan $C$ dengan $- 1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 A = 4$ .

$4 A = 4$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Langkah 1.3.2.2

Bagi setiap suku pada $4 A = 4$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $4 A = 4$ dengan $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Langkah 1.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 A}{4} = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Langkah 1.3.2.2.2.1.2

Bagilah $A$ dengan $1$ .

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Langkah 1.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.3.1

Bagilah $4$ dengan $4$ .

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Langkah 1.3.3

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $2 = A + B$ dengan $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = - 1$

Langkah 1.3.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

Langkah 1.3.4

Selesaikan $B$ dalam $2 = 1 + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = - 1$

Langkah 1.3.4.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $B$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = - 1$

Langkah 1.3.4.2.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

Langkah 1.3.5

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$B = 1 A = 1 C = - 1$

Langkah 1.3.6

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = 1, A = 1, C = - 1$

Langkah 1.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ , $B$ , dan $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1 x - 1}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x - 1}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.5.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\int \frac{1}{x} + \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 4

Pisahkan pecahan $\frac{x - 1}{x^{2} + 4}$ menjadi dua pecahan.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} + \frac{- 1}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 7

Biarkan $u = x^{2} + 4$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = x^{2} + 4$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 7.1.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 7.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 8.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{2 u} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 10

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 12

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Susun kembali $x^{2}$ dan $4$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Langkah 12.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Langkah 13

Integral dari $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Langkah 14.2

Sederhanakan.

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Langkah 15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 4$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$