Kalkulus Contoh

$\int (x + 4) \sqrt{3 - x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x + 4$ dan $d v = \sqrt{3 - x}$ .

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 2

Karena $- \frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} \int {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Langkah 3

Biarkan $u = 3 - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = 3 - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $3 - x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - x]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 3.1.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 3.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Langkah 3.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - 1$

Langkah 3.1.4

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- 1$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{2}{3}$ .

$(x + 4) (- \frac{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

Langkah 6.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 4) (- \frac{2 \cdot {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

Langkah 6.1.3

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $u^{\frac{5}{2}}$ .

$(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)))$

Langkah 6.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (1 (\frac{2}{3}) (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Langkah 6.1.5

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Langkah 6.2

Tulis kembali $(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$ sebagai $- x \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ .

$- x \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gabungkan $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ dan $x$ .

$- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{- 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Langkah 6.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Langkah 6.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Langkah 6.3.4

Kalikan $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5 \cdot 3} + C$

Langkah 6.3.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Langkah 6.3.6

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 - x$ .

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 {(3 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Langkah 8

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} (- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{15} {(3 - x)}^{\frac{5}{2}} + C$