Kalkulus Contoh

$\int {(\csc (x) - \tan (x))}^{2} d x$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(\csc (x) - \tan (x))}^{2}$ sebagai $(\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x))$ .

$\int (\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

Langkah 1.2

Perluas $(\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\int \csc (x) (\csc (x) - \tan (x)) - \tan (x) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

Langkah 1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

Langkah 1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Langkah 1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Kalikan $\csc (x) \csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1.1

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \csc^{1} (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Langkah 1.3.1.1.2

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Langkah 1.3.1.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int {\csc (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Langkah 1.3.1.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \csc^{2} (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Langkah 1.3.1.2

Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.2.1

Susun kembali $\csc (x)$ dan $- \tan (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Langkah 1.3.1.2.2

Tambahkan tanda kurung.

$\int \csc^{2} (x) - (\tan (x) \csc (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Langkah 1.3.1.2.3

Tulis kembali $\csc (x) (- \tan (x))$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \csc^{2} (x) - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Langkah 1.3.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \csc^{2} (x) - \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Langkah 1.3.1.3

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Langkah 1.3.1.4

Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.4.1

Tambahkan tanda kurung.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - (\tan (x) \csc (x)) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Langkah 1.3.1.4.2

Tulis kembali $- \tan (x) \csc (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Langkah 1.3.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Langkah 1.3.1.5

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Langkah 1.3.1.6

Kalikan $- \tan (x) (- \tan (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + 1 \tan (x) \tan (x) d x$

Langkah 1.3.1.6.2

Kalikan $\tan (x)$ dengan $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Langkah 1.3.1.6.3

Naikkan $\tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

Langkah 1.3.1.6.4

Naikkan $\tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

Langkah 1.3.1.6.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

Langkah 1.3.1.6.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Langkah 1.3.2

Kurangi $\sec (x)$ dengan $- \sec (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - 2 \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \csc^{2} (x) d x + \int - 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Langkah 3

Karena turunan dari $- \cot (x)$ adalah $\csc^{2} (x)$ , maka integral dari $\csc^{2} (x)$ adalah $- \cot (x)$ .

$- \cot (x) + C + \int - 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Langkah 4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$- \cot (x) + C - 2 \int \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Langkah 5

Integral dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \tan^{2} (x) d x$

Langkah 6

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (x)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

Langkah 9

Karena turunan dari $\tan (x)$ adalah $\sec^{2} (x)$ , maka integral dari $\sec^{2} (x)$ adalah $\tan (x)$ .

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \tan (x) + C$

Langkah 10

Sederhanakan.

$- \cot (x) - 2 \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) - x + \tan (x) + C$