Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x + \tan (x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

Langkah 1.2.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0 + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0 + \tan (0)}$

Langkah 1.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Langkah 1.3.4.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.5

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x + \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

Langkah 3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

Langkah 3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \tan (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.5

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1 + \sec^{2} (x)}$

Langkah 4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sec^{2} (x)}$

Langkah 5

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sec^{2} (x)}$

Langkah 6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Langkah 7

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Langkah 8

Pindahkan pangkat $2$ dari $\sec^{2} (x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Langkah 9

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 10

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\cos (0)}{1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 10.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\cos (0)}{1 + \sec^{2} (0)}$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{1 + \sec^{2} (0)}$

Langkah 11.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{1 + 1^{2}}$

Langkah 11.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{1 + 1}$

Langkah 11.2.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2}$