Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\tan (3 x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Langkah 1.2.1.2

Pindahkan suku $7$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan $7$ dengan $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Langkah 1.2.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{\tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\tan (3 \cdot 0)}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Langkah 1.3.3.2

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\tan (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 7 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Langkah 3.3

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) (7 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Langkah 3.5

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Langkah 3.6

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $\cos (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cdot \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Langkah 3.7

Kalikan $7$ dengan $\cos (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \tan (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.8.2

Turunan dari $\tan (u)$ terhadap $u$ adalah $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.8.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.9

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)}$

Langkah 3.11

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3}$

Langkah 3.12

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\sec^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{3 \cdot \sec^{2} (3 x)}$

Langkah 3.13

Kalikan $3$ dengan $\sec^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{3 \sec^{2} (3 x)}$

Langkah 4

Pindahkan suku $\frac{7}{3}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{7}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x)}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Langkah 6

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Langkah 7

Pindahkan suku $7$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Langkah 8

Pindahkan pangkat $2$ dari $\sec^{2} (3 x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}}$

Langkah 9

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Langkah 10

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 11

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 11.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Langkah 12

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan.

$\frac{7 \cos (7 \cdot 0)}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Langkah 12.2

Faktorkan $\sec (3 \cdot 0)$ dari $\sec^{2} (3 \cdot 0)$ .

$\frac{7 \cos (7 \cdot 0)}{3 (\sec (3 \cdot 0) \sec (3 \cdot 0))}$

Langkah 12.3

Pisahkan pecahan.

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec (3 \cdot 0)}$

Langkah 12.4

Tulis kembali $\sec (3 \cdot 0)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}}$

Langkah 12.5

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$ .

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} (\cos (7 \cdot 0) \cos (3 \cdot 0))$

Langkah 12.6

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (7 \cdot 0) \cos (3 \cdot 0))$

Langkah 12.7

Kalikan $7$ dengan $0$ .

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (0) \cos (3 \cdot 0))$

Langkah 12.8

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

Langkah 12.9

Pisahkan pecahan.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

Langkah 12.10

Tulis kembali $\sec (0)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}} (\cos (0) \cos (0))$

Langkah 12.11

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (0)}$ .

$\frac{7}{3} (1 \cos (0)) (\cos (0) \cos (0))$

Langkah 12.12

Kalikan $\cos (0)$ dengan $1$ .

$\frac{7}{3} \cos (0) (\cos (0) \cos (0))$

Langkah 12.13

Kalikan $\cos (0)$ dengan $\cos (0)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.13.1

Pindahkan $\cos (0)$ .

$\frac{7}{3} (\cos (0) \cos (0)) \cos (0)$

Langkah 12.13.2

Kalikan $\cos (0)$ dengan $\cos (0)$ .

$\frac{7}{3} \cos^{2} (0) \cos (0)$

Langkah 12.14

Kalikan $\cos^{2} (0)$ dengan $\cos (0)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.14.1

Pindahkan $\cos (0)$ .

$\frac{7}{3} (\cos (0) \cos^{2} (0))$

Langkah 12.14.2

Kalikan $\cos (0)$ dengan $\cos^{2} (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.14.2.1

Naikkan $\cos (0)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{7}{3} (\cos^{1} (0) \cos^{2} (0))$

Langkah 12.14.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{7}{3} {\cos (0)}^{1 + 2}$

Langkah 12.14.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{7}{3} \cos^{3} (0)$

Langkah 12.15

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{7}{3} \cdot 1^{3}$

Langkah 12.16

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{7}{3} \cdot 1$

Langkah 12.17

Kalikan $\frac{7}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{7}{3}$