Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.2.4

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.2.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{e^{0} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.2.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{e^{0} - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.2.6.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.2.6.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.2.6.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\sin (0)}$

Langkah 1.3.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} - e^{- x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.4.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.4.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.4.6

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (- 1 e^{- x})}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.4.7

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.4.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.4.9

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.5

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (x)}$

Langkah 4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 6

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 7

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 8

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 9

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 10

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 10.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 10.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (0)}$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 + e^{0}}{\cos (0)}$

Langkah 11.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 + 1}{\cos (0)}$

Langkah 11.1.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2}{\cos (0)}$

Langkah 11.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{2}{1}$

Langkah 11.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2$