Kalkulus Contoh

$\sum_{k = 1}^{30} k (k - 2) (k + 2)$

Langkah 1

Sederhanakan penjumlahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Terapkan sifat distributif.

$(k \cdot k + k \cdot - 2) (k + 2)$

Langkah 1.2

Kalikan $k$ dengan $k$ .

$(k^{2} + k \cdot - 2) (k + 2)$

Langkah 1.3

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $k$ .

$(k^{2} - 2 \cdot k) (k + 2)$

Langkah 1.4

Perluas $(k^{2} - 2 k) (k + 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$k^{2} (k + 2) - 2 k (k + 2)$

Langkah 1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k (k + 2)$

Langkah 1.4.3

Terapkan sifat distributif.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Langkah 1.5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kalikan $k^{2}$ dengan $k$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1.1

Kalikan $k^{2}$ dengan $k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1.1.1

Naikkan $k$ menjadi pangkat $1$ .

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Langkah 1.5.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Langkah 1.5.1.1.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$k^{3} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Langkah 1.5.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $k^{2}$ .

$k^{3} + 2 \cdot k^{2} - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Langkah 1.5.1.3

Kalikan $k$ dengan $k$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.3.1

Pindahkan $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k \cdot k) - 2 k \cdot 2$

Langkah 1.5.1.3.2

Kalikan $k$ dengan $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 2 k \cdot 2$

Langkah 1.5.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 4 k$

Langkah 1.5.2

Kurangi $2 k^{2}$ dengan $2 k^{2}$ .

$k^{3} + 0 - 4 k$

Langkah 1.5.3

Tambahkan $k^{3}$ dan $0$ .

$k^{3} - 4 k$

Langkah 1.6

Tulis kembali penjumlahannya.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k$

Langkah 2

Pisahkan penjumlahannya menjadi penjumlahan yang lebih kecil yang sesuai dengan kaidah penjumlahan.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k = \sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 \sum_{k = 1}^{30} k$

Langkah 3

Evaluasi $\sum_{k = 1}^{30} k^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $3$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$\frac{30^{2} {(30 + 1)}^{2}}{4}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tambahkan $30$ dan $1$ .

$\frac{30^{2} \cdot 31^{2}}{4}$

Langkah 3.3.1.2

Naikkan $30$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{900 \cdot 31^{2}}{4}$

Langkah 3.3.1.3

Naikkan $31$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{900 \cdot 961}{4}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan $900$ dengan $961$ .

$\frac{864900}{4}$

Langkah 3.3.2.2

Bagilah $864900$ dengan $4$ .

$216225$

Langkah 4

Evaluasi $4 \sum_{k = 1}^{30} k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $1$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(- 4) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Tambahkan $30$ dan $1$ .

$- 4 \frac{30 \cdot 31}{2}$

Langkah 4.3.1.2

Kalikan $30$ dengan $31$ .

$- 4 (\frac{930}{2})$

Langkah 4.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{930}{2}$

Langkah 4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 2 \frac{930}{2}$

Langkah 4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \cdot 930$

Langkah 4.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $930$ .

$- 1860$

Langkah 5

Jumlahkan hasil penjumlahan.

$216225 - 1860$

Langkah 6

Kurangi $1860$ dengan $216225$ .

$214365$