Kalkulus Contoh

$\sum_{n = 1}^{8} {(\frac{1}{3})}^{n}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri berhingga dapat ditentukan menggunakan rumus $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{n}$ dan $a_{n + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n}}$

Langkah 2.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(\frac{1}{3})}^{n + 1}$ dan ${(\frac{1}{3})}^{n}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan ${(\frac{1}{3})}^{n}$ dari ${(\frac{1}{3})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n}}$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{\frac{1}{3}}{1}$

Langkah 2.2.2.4

Bagilah $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$r = \frac{1}{3}$

Langkah 3

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ untuk $n$ ke dalam ${(\frac{1}{3})}^{n}$ .

$a = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

$a = \frac{1}{3}$

Langkah 4

Substitusikan nilai rasio, suku pertama, dan banyaknya suku ke dalam rumus penjumlahan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}})$

Langkah 5.1.2

Gabungkan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Langkah 5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3.2

Faktorkan $3$ dari $3^{8}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $7$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.8

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.9

Gabungkan $3$ dan $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.11.1

Kalikan $3$ dengan $2187$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.11.2

Kurangi $1$ dengan $6561$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

Langkah 5.5.2

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

Langkah 5.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{3} (\frac{6560}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 5.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Faktorkan $2$ dari $6560$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 (3280)}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 5.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3280}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 5.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$

Langkah 5.8

Kalikan $\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{3280}{2187}$ .

$\frac{3280}{3 \cdot 2187}$

Langkah 5.8.2

Kalikan $3$ dengan $2187$ .

$\frac{3280}{6561}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{3280}{6561}$

Bentuk Desimal:

$0.49992379 \dots$