Kalkulus Contoh

$\sum_{i = 1}^{22} i {(i - 1)}^{2}$

Langkah 1

Sederhanakan penjumlahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(i - 1)}^{2}$ sebagai $(i - 1) (i - 1)$ .

$i ((i - 1) (i - 1))$

Langkah 1.2

Perluas $(i - 1) (i - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$i (i (i - 1) - 1 (i - 1))$

Langkah 1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1))$

Langkah 1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Langkah 1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Kalikan $i$ dengan $i$ .

$i (i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $i$ .

$i (i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Langkah 1.3.1.3

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$i (i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Langkah 1.3.1.4

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$i (i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1)$

Langkah 1.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$i (i^{2} - i - i + 1)$

Langkah 1.3.2

Kurangi $i$ dengan $- i$ .

$i (i^{2} - 2 i + 1)$

Langkah 1.4

Terapkan sifat distributif.

$i \cdot i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $i$ dengan $i^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kalikan $i$ dengan $i^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1.1

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$i^{1} i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Langkah 1.5.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$i^{1 + 2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Langkah 1.5.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$i^{3} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Langkah 1.5.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$i^{3} - 2 i \cdot i + i \cdot 1$

Langkah 1.5.3

Kalikan $i$ dengan $1$ .

$i^{3} - 2 i \cdot i + i$

Langkah 1.6

Kalikan $i$ dengan $i$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Pindahkan $i$ .

$i^{3} - 2 (i \cdot i) + i$

Langkah 1.6.2

Kalikan $i$ dengan $i$ .

$i^{3} - 2 i^{2} + i$

Langkah 1.7

Tulis kembali penjumlahannya.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i$

Langkah 2

Pisahkan penjumlahannya menjadi penjumlahan yang lebih kecil yang sesuai dengan kaidah penjumlahan.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i = \sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2} + \sum_{i = 1}^{22} i$

Langkah 3

Evaluasi $\sum_{i = 1}^{22} i^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $3$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$\frac{22^{2} {(22 + 1)}^{2}}{4}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tambahkan $22$ dan $1$ .

$\frac{22^{2} \cdot 23^{2}}{4}$

Langkah 3.3.1.2

Naikkan $22$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{484 \cdot 23^{2}}{4}$

Langkah 3.3.1.3

Naikkan $23$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{484 \cdot 529}{4}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan $484$ dengan $529$ .

$\frac{256036}{4}$

Langkah 3.3.2.2

Bagilah $256036$ dengan $4$ .

$64009$

Langkah 4

Evaluasi $2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $2$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(- 2) (\frac{22 (22 + 1) (2 \cdot 22 + 1)}{6})$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Tambahkan $22$ dan $1$ .

$- 2 \frac{22 \cdot 23 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

Langkah 4.3.1.2

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1

Kalikan $22$ dengan $23$ .

$- 2 \frac{506 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

Langkah 4.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $22$ .

$- 2 \frac{506 (44 + 1)}{6}$

Langkah 4.3.1.3

Tambahkan $44$ dan $1$ .

$- 2 \frac{506 \cdot 45}{6}$

Langkah 4.3.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kalikan $506$ dengan $45$ .

$- 2 (\frac{22770}{6})$

Langkah 4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{22770}{6}$

Langkah 4.3.2.2.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

Langkah 4.3.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

Langkah 4.3.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 (\frac{22770}{3})$

Langkah 4.3.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Bagilah $22770$ dengan $3$ .

$- 1 \cdot 7590$

Langkah 4.3.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $7590$ .

$- 7590$

Langkah 5

Evaluasi $\sum_{i = 1}^{22} i$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $1$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$\frac{22 (22 + 1)}{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $22$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $22 (22 + 1)$ .

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2}$

Langkah 5.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 (1)}$

Langkah 5.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{11 (22 + 1)}{1}$

Langkah 5.3.1.2.4

Bagilah $11 (22 + 1)$ dengan $1$ .

$11 (22 + 1)$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Tambahkan $22$ dan $1$ .

$11 \cdot 23$

Langkah 5.3.2.2

Kalikan $11$ dengan $23$ .

$253$

Langkah 6

Jumlahkan hasil penjumlahan.

$64009 - 7590 + 253$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kurangi $7590$ dengan $64009$ .

$56419 + 253$

Langkah 7.2

Tambahkan $56419$ dan $253$ .

$56672$