Kalkulus Contoh

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

Langkah 1

Pisahkan penjumlahan untuk membuat nilai awal dari $j$ sama dengan $1$ .

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = \sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} - \sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

Langkah 2

Evaluasi $\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pisahkan penjumlahannya menjadi penjumlahan yang lebih kecil yang sesuai dengan kaidah penjumlahan.

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = 6 \sum_{j = 1}^{30} j + \sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$

Langkah 2.2

Evaluasi $6 \sum_{j = 1}^{30} j$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $1$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Langkah 2.2.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(6) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Tambahkan $30$ dan $1$ .

$6 \frac{30 \cdot 31}{2}$

Langkah 2.2.3.1.2

Kalikan $30$ dengan $31$ .

$6 (\frac{930}{2})$

Langkah 2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$2 (3) \frac{930}{2}$

Langkah 2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 3 \frac{930}{2}$

Langkah 2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 \cdot 930$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $3$ dengan $930$ .

$2790$

Langkah 2.3

Evaluasi $\sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Faktorkan $- \frac{4}{3}$ dari penjumlahannya.

$(- \frac{4}{3}) \sum_{j = 1}^{30} j^{2}$

Langkah 2.3.2

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $2$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Langkah 2.3.3

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(- \frac{4}{3}) (\frac{30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{6})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1.1

Tambahkan $30$ dan $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{30 \cdot 31 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Langkah 2.3.4.1.2

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1.2.1

Kalikan $30$ dengan $31$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Langkah 2.3.4.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $30$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (60 + 1)}{6}$

Langkah 2.3.4.1.3

Tambahkan $60$ dan $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 \cdot 61}{6}$

Langkah 2.3.4.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Kalikan $930$ dengan $61$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Langkah 2.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{4}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Langkah 2.3.4.2.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Langkah 2.3.4.2.2.3

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.3.4.2.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.3.4.2.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{56730}{3}$

Langkah 2.3.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.3.1

Faktorkan $3$ dari $56730$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 (18910)}{3}$

Langkah 2.3.4.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 18910}{3}$

Langkah 2.3.4.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 (\frac{18910}{3})$

Langkah 2.3.4.2.4

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{18910}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 18910}{3}$

Langkah 2.3.4.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $18910$ .

$\frac{- 37820}{3}$

Langkah 2.3.4.2.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{37820}{3}$

Langkah 2.4

Jumlahkan hasil penjumlahan.

$2790 - \frac{37820}{3}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Untuk menuliskan $2790$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$2790 \cdot \frac{3}{3} - \frac{37820}{3}$

Langkah 2.5.2

Gabungkan $2790$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2790 \cdot 3}{3} - \frac{37820}{3}$

Langkah 2.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2790 \cdot 3 - 37820}{3}$

Langkah 2.5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Kalikan $2790$ dengan $3$ .

$\frac{8370 - 37820}{3}$

Langkah 2.5.4.2

Kurangi $37820$ dengan $8370$ .

$\frac{- 29450}{3}$

Langkah 2.5.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{29450}{3}$

Langkah 3

Evaluasi $\sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Perluas barisan untuk setiap nilai dari $j$ .

$6 \cdot 1 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

Langkah 3.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$6 - \frac{4 \cdot 1}{3}$

Langkah 3.2.1.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$6 - \frac{4}{3}$

Langkah 3.2.2

Untuk menuliskan $6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$6 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $6$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Langkah 3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{6 \cdot 3 - 4}{3}$

Langkah 3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $6$ dengan $3$ .

$\frac{18 - 4}{3}$

Langkah 3.2.5.2

Kurangi $4$ dengan $18$ .

$\frac{14}{3}$

Langkah 4

Substitusikan penjumlahannya dengan nilai yang ditemukan.

$- \frac{29450}{3} - \frac{14}{3}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 29450 - 14}{3}$

Langkah 5.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangi $14$ dengan $- 29450$ .

$\frac{- 29464}{3}$

Langkah 5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{29464}{3}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{29464}{3}$

Bentuk Desimal:

$- 9821.\overline{3}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$- 9821 \frac{1}{3}$