Kalkulus Contoh

$\arctan (\frac{1 + x}{1 - x})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1 + x$ dan $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3.5

Kalikan $1 - x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3.7

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3.8

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3.10

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3.10.2

Kalikan $1 + x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3.12

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Kalikan $1 + x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3.12.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3.12.3

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3.12.4

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 3.12.5

Kalikan $\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}}$ dengan $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{2}{(1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}) {(1 - x)}^{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{2}{(1 + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

Langkah 4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{2}{(\frac{{(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Langkah 4.2.3

Gabungkan $\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ dan ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Langkah 4.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari ${(1 - x)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Langkah 4.2.4.2

Bagilah ${(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tulis kembali ${(1 - x)}^{2}$ sebagai $(1 - x) (1 - x)$ .

$\frac{2}{(1 - x) (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Langkah 4.3.2

Perluas $(1 - x) (1 - x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2}{1 (1 - x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Langkah 4.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Langkah 4.3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{2}{1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Langkah 4.3.3.1.2

Kalikan $- x$ dengan $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Langkah 4.3.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Langkah 4.3.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + {(1 + x)}^{2}}$

Langkah 4.3.3.1.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + {(1 + x)}^{2}}$

Langkah 4.3.3.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Langkah 4.3.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{2}{1 - x - x + 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Langkah 4.3.3.1.7

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Langkah 4.3.3.2

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Langkah 4.3.4

Tulis kembali ${(1 + x)}^{2}$ sebagai $(1 + x) (1 + x)$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + (1 + x) (1 + x)}$

Langkah 4.3.5

Perluas $(1 + x) (1 + x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 (1 + x) + x (1 + x)}$

Langkah 4.3.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)}$

Langkah 4.3.5.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Langkah 4.3.6.1.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Langkah 4.3.6.1.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x \cdot x}$

Langkah 4.3.6.1.4

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x^{2}}$

Langkah 4.3.6.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 2 x + x^{2}}$

Langkah 4.3.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2}{- 2 x + x^{2} + 2 + 2 x + x^{2}}$

Langkah 4.3.8

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 + 0 + x^{2}}$

Langkah 4.3.9

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 + x^{2}}$

Langkah 4.3.10

Tambahkan $x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

Langkah 4.3.11

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.11.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

Langkah 4.3.11.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

Langkah 4.3.11.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Langkah 4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Langkah 4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$