Kalkulus Contoh

$z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ sebagai ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$z = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3

Turunan dari $z$ terhadap $x$ adalah $z'$ .

$z'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 4.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 4.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 4.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 4.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 4.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 4.6.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 4.6.3

Pindahkan ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 4.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Langkah 4.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Langkah 4.9

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Langkah 4.10

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Langkah 4.10.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Langkah 4.10.3

Gabungkan $\frac{2}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.10.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.10.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$z' = \frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Ganti $z'$ dengan $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$