Kalkulus Contoh

$y = \ln (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (9 x^{2} + 5 y^{2}))$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 x^{2} + 5 y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Langkah 3.2.2

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Langkah 3.2.4

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Langkah 3.2.5

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Langkah 3.4

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Langkah 3.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 y y')$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 y y')$ .

$(18 x + 10 y y') \frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Langkah 3.6.2

Kalikan $18 x + 10 y y'$ dengan $\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$ .

$\frac{18 x + 10 y y'}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Langkah 3.6.3

Faktorkan $2$ dari $18 x + 10 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1

Faktorkan $2$ dari $18 x$ .

$\frac{2 (9 x) + 10 y y'}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Langkah 3.6.3.2

Faktorkan $2$ dari $10 y y'$ .

$\frac{2 (9 x) + 2 (5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Langkah 3.6.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (9 x) + 2 (5 y y')$ .

$\frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua ruas dengan $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $y' (9 x^{2} + 5 y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Langkah 5.2.1.1.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$9 y' x^{2} + y' (5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $\frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 2 (9 x + 5 y y')$

Langkah 5.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 2 (9 x) + 2 (5 y y')$

Langkah 5.2.2.1.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1

Kalikan $9$ dengan $2$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 2 (5 y y')$

Langkah 5.2.2.1.3.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 10 (y y')$

Langkah 5.2.2.1.3.3

Pindahkan $y$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 10 y' y$

Langkah 5.2.2.1.3.4

Susun kembali $18 x$ dan $10 y' y$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 10 y' y + 18 x$

Langkah 5.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $10 y' y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} - 10 y' y = 18 x$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} - 10 y' y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $y'$ dari $9 y' x^{2}$ .

$y' (9 x^{2}) + 5 y' y^{2} - 10 y' y = 18 x$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $y'$ dari $5 y' y^{2}$ .

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) - 10 y' y = 18 x$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $y'$ dari $- 10 y' y$ .

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) + y' (- 10 y) = 18 x$

Langkah 5.3.2.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2})$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) + y' (- 10 y) = 18 x$

Langkah 5.3.2.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) + y' (- 10 y)$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$

Langkah 5.3.3

Bagi setiap suku pada $y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$ dengan $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$ dengan $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ .

$\frac{y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y)}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y)}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$