Kalkulus Contoh

$y = \frac{x + y}{x - y}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x + y$ dan $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.7

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1.1

Perluas $(x - y) (1 + y')$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1.2.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.1.3

Perluas $(- x - y) (1 - y')$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.1.4.2

Kalikan $- x (- y')$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.1.4.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.1.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.1.4.4

Kalikan $- y (- y')$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1.4.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.1.4.4.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.2.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.2.2

Tambahkan $x y' - y - y y'$ dan $0$ .

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.2.3

Tambahkan $- y y'$ dan $y y'$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.2.4

Tambahkan $x y' - y + x y' - y$ dan $0$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.3

Tambahkan $x y'$ dan $x y'$ .

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.2.4

Kurangi $y$ dengan $- y$ .

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.3

Faktorkan $2$ dari $2 x y' - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 x y'$ .

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 y$ .

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 3.8.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x y') + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua ruas dengan ${(x - y)}^{2}$ .

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x - y)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

Langkah 5.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y' - y)$

Langkah 5.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y') + 2 (- y)$

Langkah 5.2.1.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y' {(x - y)}^{2} = 2 x y' - 2 y$

Langkah 5.2.1.3.2

Pindahkan $x$ .

$y' {(x - y)}^{2} = 2 y' x - 2 y$

Langkah 5.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $y'$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Kurangkan $2 y' x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' {(x - y)}^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1

Tulis kembali ${(x - y)}^{2}$ sebagai $(x - y) (x - y)$ .

$y' ((x - y) (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.1.2.2

Perluas $(x - y) (x - y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y' (x (x - y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.1.2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.1.2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.1.2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y' (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.1.2.3.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y' (x^{2} - x y - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.1.2.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.1.2.3.1.4

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.3.1.4.1

Pindahkan $y$ .

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.1.2.3.1.4.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.1.2.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y' (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.1.2.3.1.6

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$y' (x^{2} - x y - y x + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.1.2.3.2

Kurangi $y x$ dengan $- x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.3.2.1

Pindahkan $y$ .

$y' (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.1.2.3.2.2

Kurangi $x y$ dengan $- x y$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.1.2.4

Terapkan sifat distributif.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.1.2.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $y'$ dari $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) - 2 y' x y + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $y'$ dari $- 2 y' x y$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Langkah 5.3.2.4

Faktorkan $y'$ dari $- 2 y' x$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Langkah 5.3.2.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Langkah 5.3.2.6

Faktorkan $y'$ dari $y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Langkah 5.3.2.7

Faktorkan $y'$ dari $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$

Langkah 5.3.3

Bagi setiap suku pada $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ dengan $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ dengan $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ .

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Langkah 5.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$