Kalkulus Contoh

$x + y - 1 = \ln (x^{2} + y^{2})$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x + y - 1) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + y' + 0$

Langkah 2.5

Tambahkan $1 + y'$ dan $0$ .

$1 + y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 3.5.2

Kalikan $2 x + 2 y y'$ dengan $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 3.5.3

Faktorkan $2$ dari $2 x + 2 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 3.5.3.2

Faktorkan $2$ dari $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 3.5.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 + y' = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua ruas dengan $x^{2} + y^{2}$ .

$(1 + y') (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Perluas $(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$1 (x^{2} + y^{2}) + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Langkah 5.2.1.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Langkah 5.2.1.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Langkah 5.2.1.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Langkah 5.2.1.1.2.1.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} + y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.2.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$x^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Langkah 5.2.1.1.2.2.2

Pindahkan $x^{2}$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 (x + y y')$

Langkah 5.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 (y y')$

Langkah 5.2.2.1.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1

Pindahkan $y$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 y' y$

Langkah 5.2.2.1.3.2

Susun kembali $2 x$ dan $2 y' y$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 y' y + 2 x$

Langkah 5.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $2 y' y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x$

Langkah 5.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2}$

Langkah 5.3.2.2

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan $y'$ dari $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Langkah 5.3.3.2

Faktorkan $y'$ dari $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Langkah 5.3.3.3

Faktorkan $y'$ dari $- 2 y' y$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Langkah 5.3.3.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (x^{2}) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Langkah 5.3.3.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Langkah 5.3.4

Bagi setiap suku pada $y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ dengan $x^{2} + y^{2} - 2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ dengan $x^{2} + y^{2} - 2 y$ .

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Langkah 5.3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + y^{2} - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Langkah 5.3.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Langkah 5.3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Langkah 5.3.4.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Langkah 5.3.4.3.2

Gabungkan menjadi satu pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 x - x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Langkah 5.3.4.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$