Kalkulus Contoh

$\arctan (x + y) = y^{2} + \frac{π}{4}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\arctan (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} + \frac{π}{4})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$

Langkah 2.4

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + \frac{π}{4}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Langkah 3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Langkah 3.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $\frac{π}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π}{4}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 y y' + 0$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $2 y y'$ dan $0$ .

$2 y y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$(1 + y') (\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}) = 2 y y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tulis kembali.

$0 + 0 + (1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Langkah 5.1.3

Kalikan $1 + y'$ dengan $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang mengandung $y'$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $2 y y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} - 2 y y' = 0$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tulis kembali ${(x + y)}^{2}$ sebagai $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{1 + y'}{1 + (x + y) (x + y)} - 2 y y' = 0$

Langkah 5.2.2.2

Perluas $(x + y) (x + y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 + y'}{1 + x (x + y) + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

Langkah 5.2.2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

Langkah 5.2.2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

Langkah 5.2.2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

Langkah 5.2.2.3.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Langkah 5.2.2.3.2

Tambahkan $x y$ dan $y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.2.1

Susun kembali $y$ dan $x$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Langkah 5.2.2.3.2.2

Tambahkan $x y$ dan $x y$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Langkah 5.2.3

Untuk menuliskan $- 2 y y'$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' \cdot \frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Langkah 5.2.4

Gabungkan $- 2 y y'$ dan $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} + \frac{- 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Langkah 5.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 + y' - 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Langkah 5.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 + y' - 2 y y' \cdot 1 - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Langkah 5.2.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Langkah 5.2.6.2.2

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.2.2.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 (y \cdot y) y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Langkah 5.2.6.2.2.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Langkah 5.2.6.2.3

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.2.3.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Langkah 5.2.6.2.3.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.2.3.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y^{1}) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Langkah 5.2.6.2.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{2 + 1} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Langkah 5.2.6.2.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Langkah 5.2.6.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Langkah 5.3

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = 0$

Langkah 5.4

Selesaikan persamaan untuk $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $y'$ dari $y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Faktorkan $y'$ dari ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Langkah 5.4.2.2

Faktorkan $y'$ dari $- 2 y y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Langkah 5.4.2.3

Faktorkan $y'$ dari $- 2 y y' x^{2}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Langkah 5.4.2.4

Faktorkan $y'$ dari $- 4 y^{2} y' x$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) - 2 y^{3} y' = - 1$

Langkah 5.4.2.5

Faktorkan $y'$ dari $- 2 y^{3} y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Langkah 5.4.2.6

Faktorkan $y'$ dari $y' \cdot 1 + y' (- 2 y)$ .

$y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Langkah 5.4.2.7

Faktorkan $y'$ dari $y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2})$ .

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Langkah 5.4.2.8

Faktorkan $y'$ dari $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x)$ .

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Langkah 5.4.2.9

Faktorkan $y'$ dari $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3})$ .

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$

Langkah 5.4.3

Bagi setiap suku pada $y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ dengan $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ dengan $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ .

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Langkah 5.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Langkah 5.4.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Langkah 5.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$