Kalkulus Contoh

$\cos (x) + \sqrt{y} = 9$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) + y^{\frac{1}{2}} = 9$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (9)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

Langkah 3.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

Langkah 3.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

Langkah 3.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

Langkah 3.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

Langkah 3.3.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

Langkah 3.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

Langkah 3.3.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin (x) + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

Langkah 3.3.9

Gabungkan $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dan $y'$ .

$- \sin (x) + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Langkah 3.3.10

Pindahkan $y^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \sin (x)$

Langkah 4

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \sin (x) = 0$

Langkah 6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tambahkan $\sin (x)$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \sin (x)$

Langkah 6.2

Kalikan kedua ruas dengan $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Sederhanakan $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan $\sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y' = 2 \sin (x) y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.2.1.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 \sin (x) y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = 2 y^{\frac{1}{2}} \sin (x)$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 y^{\frac{1}{2}} \sin (x)$