Kalkulus Contoh

$\ln (y) = e^{y} \sin (x)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (e^{y} \sin (x))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Langkah 2.3

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{y}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Langkah 3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) e^{y} y'$

Langkah 3.5

Susun kembali suku-suku.

$e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{y'}{y} = e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y'}{y} y = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

Langkah 5.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $(e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y' = e^{y} \cos (x) y + e^{y} \sin (x) y' y$

Langkah 5.2.2.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{y} \cos (x) y + e^{y} \sin (x) y' y$ .

$y' = y e^{y} \cos (x) + y' y e^{y} \sin (x)$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Susun kembali $y e^{y} \cos (x)$ dan $y' y e^{y} \sin (x)$ .

$y' = y' y e^{y} \sin (x) + y e^{y} \cos (x)$

Langkah 5.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $y' y e^{y} \sin (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' - y' y e^{y} \sin (x) = y e^{y} \cos (x)$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $y' - y' y e^{y} \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $y'$ dari ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - y' y e^{y} \sin (x) = y e^{y} \cos (x)$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $y'$ dari $- y' y e^{y} \sin (x)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (x))$ .

$y' (1 - 1 y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

Langkah 5.3.4

Bagi setiap suku pada $y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$ dengan $1 - y e^{y} \sin (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$ dengan $1 - y e^{y} \sin (x)$ .

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (x))}{1 - y e^{y} \sin (x)} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

Langkah 5.3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - y e^{y} \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (x))}{1 - y e^{y} \sin (x)} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

Langkah 5.3.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$