Kalkulus Contoh

$\ln (x y) - y^{2} = 5$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y) - y^{2}) = \frac{d}{d x} (5)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\ln (x y) - y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 2.2.1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - (2 y y')$

Langkah 2.3.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - 2 y y'$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y - 2 y y'$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y - 2 y y'$

Langkah 2.4.2.2

Gabungkan $\frac{x}{x y}$ dan $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y - 2 y y'$

Langkah 2.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y - 2 y y'$

Langkah 2.4.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y - 2 y y'$

Langkah 2.4.2.4

Gabungkan $\frac{1}{x y}$ dan $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} - 2 y y'$

Langkah 2.4.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} - 2 y y'$

Langkah 2.4.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - 2 y y'$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$- 2 y y' + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Langkah 3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- 2 y y' + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, y, x, 1$

Langkah 5.1.2

Since $1, y, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Langkah 5.1.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 5.1.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 5.1.5

KPK dari $1, 1, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$1$

Langkah 5.1.6

Faktor untuk $y^{1}$ adalah $y$ itu sendiri.

$y^{1} = y$

$y$ terjadi $1$ kali.

Langkah 5.1.7

Faktor untuk $x^{1}$ adalah $x$ itu sendiri.

$x^{1} = x$

$x$ terjadi $1$ kali.

Langkah 5.1.8

KPK dari $y^{1}, x^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y x$

Langkah 5.2

Kalikan setiap suku pada $- 2 y y' + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ dengan $y x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- 2 y y' + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ dengan $y x$ .

$- 2 y y' (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Pindahkan $y$ .

$- 2 (y \cdot y) y' x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$- 2 y^{2} y' x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Faktorkan $y$ dari $y x$ .

$- 2 y^{2} y' x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 y^{2} y' x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 y^{2} y' x + y' x + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1

Faktorkan $x$ dari $y x$ .

$- 2 y^{2} y' x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 y^{2} y' x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 y^{2} y' x + y' x + y = 0 (y x)$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kalikan $0 (y x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Kalikan $y$ dengan $0$ .

$- 2 y^{2} y' x + y' x + y = 0 x$

Langkah 5.2.3.1.2

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$- 2 y^{2} y' x + y' x + y = 0$

Langkah 5.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 y^{2} y' x + y' x = - y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y' x$ dari $- 2 y^{2} y' x + y' x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $y' x$ dari $- 2 y^{2} y' x$ .

$y' x (- 2 y^{2}) + y' x = - y$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $y' x$ dari $y' x$ .

$y' x (- 2 y^{2}) + y' x \cdot 1 = - y$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $y' x$ dari $y' x (- 2 y^{2}) + y' x \cdot 1$ .

$y' x (- 2 y^{2} + 1) = - y$

Langkah 5.3.3

Bagi setiap suku pada $y' x (- 2 y^{2} + 1) = - y$ dengan $x (- 2 y^{2} + 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y' x (- 2 y^{2} + 1) = - y$ dengan $x (- 2 y^{2} + 1)$ .

$\frac{y' x (- 2 y^{2} + 1)}{x (- 2 y^{2} + 1)} = \frac{- y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' x (- 2 y^{2} + 1)}{x (- 2 y^{2} + 1)} = \frac{- y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (- 2 y^{2} + 1)}{- 2 y^{2} + 1} = \frac{- y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2 y^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- 2 y^{2} + 1)}{- 2 y^{2} + 1} = \frac{- y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y^{2}$ .

$y' = - \frac{y}{x (- (2 y^{2}) + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.3

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$y' = - \frac{y}{x (- (2 y^{2}) - 1 (- 1))}$

Langkah 5.3.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 y^{2}) - 1 (- 1)$ .

$y' = - \frac{y}{x (- (2 y^{2} - 1))}$

Langkah 5.3.3.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.5.1

Tulis kembali $- (2 y^{2} - 1)$ sebagai $- 1 (2 y^{2} - 1)$ .

$y' = - \frac{y}{x (- 1 (2 y^{2} - 1))}$

Langkah 5.3.3.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - - \frac{y}{x (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 5.3.3.3.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y' = 1 \frac{y}{x (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 5.3.3.3.5.4

Kalikan $\frac{y}{x (2 y^{2} - 1)}$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y}{x (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (2 y^{2} - 1)}$