Kalkulus Contoh

$y = \frac{(x - 7) (x^{2} + 4 x)}{x^{3}}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{(x - 7) (x^{2} + 4 x)}{x^{3}})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = (x - 7) (x^{2} + 4 x)$ dan $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x^{2} + 4 x)] - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x^{2} + 4 x)] - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Langkah 3.2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x^{2} + 4 x)] - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x - 7$ dan $g (x) = x^{2} + 4 x$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x] + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 3.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 4 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 3.4.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 3.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4 \cdot 1) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 3.4.5

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 3.4.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 7$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 3.4.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 3.4.8

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) (1 + 0)) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 3.4.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) \cdot 1) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 3.4.9.2

Kalikan $x^{2} + 4 x$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 3.4.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Langkah 3.4.11

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.11.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}}{x^{6}}$

Langkah 3.4.11.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.11.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)$ .

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)) - 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}}{x^{6}}$

Langkah 3.4.11.2.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)) + x^{2} (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{6}}$

Langkah 3.4.11.2.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)) + x^{2} (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})$ .

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{6}}$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

Langkah 3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

Langkah 3.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 3.6

Faktorkan $x$ dari $x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan $x$ dari $- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2}$ .

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) + x (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x^{4}}$

Langkah 3.6.2

Faktorkan $x$ dari $x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) + x (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)$ .

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x^{4}}$

Langkah 3.7

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 3.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1.1

Perluas $(x - 7) (2 x + 4)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (2 x + 4) - 7 (2 x + 4) + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 4 - 7 (2 x + 4) + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1.2.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.2.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.2.1.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 \cdot x - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 14 x - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.2.1.5

Kalikan $- 7$ dengan $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 14 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.2.2

Kurangi $14 x$ dengan $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + 21) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + 21) (1 + \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.5

Perluas $(- 3 x + 21) (1 + \frac{4}{x})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x (1 + \frac{4}{x}) + 21 (1 + \frac{4}{x})) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x \cdot 1 - 3 x \frac{4}{x} + 21 (1 + \frac{4}{x})) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.5.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x \cdot 1 - 3 x \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.6

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1.6.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 x \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.6.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1.6.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $- 3 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + x \cdot - 3 \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + x \cdot - 3 \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot 4 + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.6.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.6.1.4

Kalikan $21$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.6.1.5

Kalikan $21 \frac{4}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1.6.1.5.1

Gabungkan $21$ dan $\frac{4}{x}$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 + \frac{21 \cdot 4}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.6.1.5.2

Kalikan $21$ dengan $4$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 + \frac{84}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.6.2

Tambahkan $- 12$ dan $21$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + 9 + \frac{84}{x}) x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.7

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x \cdot x + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1.8.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1.8.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 (x \cdot x) + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.8.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.8.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.1.8.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + 84}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.2

Tambahkan $2 x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 10 x - 28 + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + 84}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.3

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{2} - 10 x - 28 + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + 84$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.3.1

Kurangi $3 x^{2}$ dengan $3 x^{2}$ .

$\frac{- 10 x - 28 + 4 x + 0 + 9 x + 84}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.3.2

Tambahkan $- 10 x - 28 + 4 x$ dan $0$ .

$\frac{- 10 x - 28 + 4 x + 9 x + 84}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.4

Tambahkan $- 10 x$ dan $4 x$ .

$\frac{- 6 x - 28 + 9 x + 84}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.5

Tambahkan $- 6 x$ dan $9 x$ .

$\frac{3 x - 28 + 84}{x^{3}}$

Langkah 3.8.3.6

Tambahkan $- 28$ dan $84$ .

$\frac{3 x + 56}{x^{3}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{3 x + 56}{x^{3}}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + 56}{x^{3}}$