Kalkulus Contoh

$e^{\frac{x}{y}} = 4 x - y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{y}}) = \frac{d}{d x} (4 x - y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \frac{x}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{y}$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 2.3.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Langkah 2.5

Gabungkan $e^{\frac{x}{y}}$ dan $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 - \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 - y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} = 4 - y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua ruas dengan $y^{2}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (4 - y') y^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (4 - y') y^{2}$

Langkah 5.2.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{\frac{x}{y}} (y - x y') = (4 - y') y^{2}$

Langkah 5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{\frac{x}{y}} y + e^{\frac{x}{y}} (- x y') = (4 - y') y^{2}$

Langkah 5.2.1.1.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y') = (4 - y') y^{2}$

Langkah 5.2.1.1.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y')$ .

$y e^{\frac{x}{y}} - x y' e^{\frac{x}{y}} = (4 - y') y^{2}$

Langkah 5.2.1.1.3.3

Pindahkan $x$ .

$y e^{\frac{x}{y}} - y' x e^{\frac{x}{y}} = (4 - y') y^{2}$

Langkah 5.2.1.1.3.4

Susun kembali $y e^{\frac{x}{y}}$ dan $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = (4 - y') y^{2}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $(4 - y') y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = 4 y^{2} - y' y^{2}$

Langkah 5.2.2.1.2

Susun kembali $4 y^{2}$ dan $- y' y^{2}$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = - y' y^{2} + 4 y^{2}$

Langkah 5.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tambahkan $y' y^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2} = 4 y^{2}$

Langkah 5.3.2

Kurangkan $y e^{\frac{x}{y}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2} = 4 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $- y' x e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan $y'$ dari $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2}) = 4 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Langkah 5.3.3.2

Faktorkan $y'$ dari $y' y^{2}$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2}) = 4 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Langkah 5.3.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2})$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = 4 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = 4 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Langkah 5.3.5

Bagi setiap suku pada $y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = 4 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ dengan $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = 4 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ dengan $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ .

$\frac{y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} = \frac{4 y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Langkah 5.3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} = \frac{4 y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Langkah 5.3.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{4 y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Langkah 5.3.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{4 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Langkah 5.3.5.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $4 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.3.2.1.1

Faktorkan $y$ dari $4 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (4 y) - y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Langkah 5.3.5.3.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $- y e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y (4 y) + y (- 1 e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Langkah 5.3.5.3.2.1.3

Faktorkan $y$ dari $y (4 y) + y (- 1 e^{\frac{x}{y}})$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1 e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Langkah 5.3.5.3.2.2

Tulis kembali $- 1 e^{\frac{x}{y}}$ sebagai $- e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y (4 y - e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Langkah 5.3.5.3.3

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.3.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y (4 y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}}) + y^{2}}$

Langkah 5.3.5.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $y^{2}$ .

$y' = \frac{y (4 y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}}) - 1 (- y^{2})}$

Langkah 5.3.5.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x e^{\frac{x}{y}}) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{y (4 y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})}$

Langkah 5.3.5.3.3.4

Tulis kembali negatifnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.3.3.4.1

Tulis kembali $- (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})$ sebagai $- 1 (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})$ .

$y' = \frac{y (4 y - e^{\frac{x}{y}})}{- 1 (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})}$

Langkah 5.3.5.3.3.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y (4 y - e^{\frac{x}{y}})}{x e^{\frac{x}{y}} - y^{2}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (4 y - e^{\frac{x}{y}})}{x e^{\frac{x}{y}} - y^{2}}$