Kalkulus Contoh

$x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2} = 0$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3.7

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.5.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.5.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.5.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + 2 y y'$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y') - y^{2} + 2 x + 2 y y'$

Langkah 2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 2 x y y' - y^{2} + 2 x + 2 y y'$

Langkah 2.6.3

Susun kembali suku-suku.

$- y^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x$

Langkah 3

Karena $0$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- y^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tambahkan $y^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} y' + 2 x y - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x = y^{2}$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} y' - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x = y^{2} - 2 x y$

Langkah 5.1.3

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} y' - 2 x y y' + 2 y y' = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Langkah 5.2

Faktorkan $y'$ dari $x^{2} y' - 2 x y y' + 2 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} - 2 x y y' + 2 y y' = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $- 2 x y y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + 2 y y' = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $2 y y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Langkah 5.2.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Langkah 5.2.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (x^{2} - 2 x y) + y' (2 y)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + 2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $y' (x^{2} - 2 x y + 2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$ dengan $x^{2} - 2 x y + 2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (x^{2} - 2 x y + 2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$ dengan $x^{2} - 2 x y + 2 y$ .

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{x^{2} - 2 x y + 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} - 2 x y + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{x^{2} - 2 x y + 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Langkah 5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Langkah 5.3.3.2

Gabungkan menjadi satu pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y^{2} - 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Langkah 5.3.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y^{2} - 2 x y - 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2 x y - 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$