Kalkulus Contoh

$12 x^{3} y^{2} - 4 y^{3} = 2$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (12 x^{3} y^{2} - 4 y^{3}) = \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 x^{3} y^{2} - 4 y^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [12 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x^{3} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x^{3} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$12 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$12 (x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$12 (x^{3} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$12 (x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$12 (x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$12 (x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$12 (2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.2.7

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$12 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$12 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$12 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$12 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 4 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$12 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$12 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 4 (3 y^{2} y')$

Langkah 2.3.4

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$12 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 12 y^{2} y'$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$12 (2 x^{3} y y') + 12 (3 y^{2} x^{2}) - 12 y^{2} y'$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Kalikan $2$ dengan $12$ .

$24 (x^{3} y y') + 12 (3 y^{2} x^{2}) - 12 y^{2} y'$

Langkah 2.4.2.2

Kalikan $3$ dengan $12$ .

$24 x^{3} y y' + 36 y^{2} x^{2} - 12 y^{2} y'$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$24 x^{3} y y' + 36 x^{2} y^{2} - 12 y^{2} y'$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$24 x^{3} y y' + 36 x^{2} y^{2} - 12 y^{2} y' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $36 x^{2} y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$24 x^{3} y y' - 12 y^{2} y' = - 36 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.2

Faktorkan $12 y y'$ dari $24 x^{3} y y' - 12 y^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $12 y y'$ dari $24 x^{3} y y'$ .

$12 y y' (2 x^{3}) - 12 y^{2} y' = - 36 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $12 y y'$ dari $- 12 y^{2} y'$ .

$12 y y' (2 x^{3}) + 12 y y' (- y) = - 36 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $12 y y'$ dari $12 y y' (2 x^{3}) + 12 y y' (- y)$ .

$12 y y' (2 x^{3} - y) = - 36 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $12 y y' (2 x^{3} - y) = - 36 x^{2} y^{2}$ dengan $12 y (2 x^{3} - y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $12 y y' (2 x^{3} - y) = - 36 x^{2} y^{2}$ dengan $12 y (2 x^{3} - y)$ .

$\frac{12 y y' (2 x^{3} - y)}{12 y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 36 x^{2} y^{2}}{12 y (2 x^{3} - y)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 y y' (2 x^{3} - y)}{12 y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 36 x^{2} y^{2}}{12 y (2 x^{3} - y)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y' (2 x^{3} - y)}{y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 36 x^{2} y^{2}}{12 y (2 x^{3} - y)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y' (2 x^{3} - y)}{y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 36 x^{2} y^{2}}{12 y (2 x^{3} - y)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (2 x^{3} - y)}{2 x^{3} - y} = \frac{- 36 x^{2} y^{2}}{12 y (2 x^{3} - y)}$

Langkah 5.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x^{3} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 x^{3} - y)}{2 x^{3} - y} = \frac{- 36 x^{2} y^{2}}{12 y (2 x^{3} - y)}$

Langkah 5.3.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 36 x^{2} y^{2}}{12 y (2 x^{3} - y)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 36$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Faktorkan $12$ dari $- 36 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{12 (- 3 x^{2} y^{2})}{12 y (2 x^{3} - y)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Faktorkan $12$ dari $12 y (2 x^{3} - y)$ .

$y' = \frac{12 (- 3 x^{2} y^{2})}{12 (y (2 x^{3} - y))}$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{12 (- 3 x^{2} y^{2})}{12 (y (2 x^{3} - y))}$

Langkah 5.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{y (2 x^{3} - y)}$

Langkah 5.3.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- 3 x^{2} y)}{y (2 x^{3} - y)}$

Langkah 5.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y (- 3 x^{2} y)}{y (2 x^{3} - y)}$

Langkah 5.3.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{2 x^{3} - y}$

Langkah 5.3.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{2 x^{3} - y}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y}{2 x^{3} - y}$