Kalkulus Contoh

$y^{3} + x^{2} y^{5} - x^{4} = 27$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + x^{2} y^{5} - x^{4}) = \frac{d}{d x} (27)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} + x^{2} y^{5} - x^{4}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Langkah 2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y^{5}$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{5}] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 y^{4} y') + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 y^{4} y') + y^{5} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Langkah 2.3.5

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$3 y^{2} y' + 5 \cdot x^{2} y^{4} y' + y^{5} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Langkah 2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{5}$ .

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x - (4 x^{3})$

Langkah 2.4.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x - 4 x^{3}$

Langkah 2.5

Susun kembali suku-suku.

$- 4 x^{3} + 3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

Langkah 3

Karena $27$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $27$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- 4 x^{3} + 3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tambahkan $4 x^{3}$ ke kedua sisi persamaan.

$3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x = 4 x^{3}$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $2 y^{5} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

Langkah 5.2

Faktorkan $y^{2} y'$ dari $3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $y^{2} y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$y^{2} y' \cdot 3 + 5 y^{4} x^{2} y' = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $y^{2} y'$ dari $5 y^{4} x^{2} y'$ .

$y^{2} y' \cdot 3 + y^{2} y' (5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $y^{2} y'$ dari $y^{2} y' \cdot 3 + y^{2} y' (5 y^{2} x^{2})$ .

$y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$ dengan $y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$ dengan $y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})$ .

$\frac{y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{3 + 5 y^{2} x^{2}} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3 + 5 y^{2} x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{3 + 5 y^{2} x^{2}} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $y^{5}$ dan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $- 2 y^{5} x$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{y^{2} (- 2 y^{3} x)}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{y^{2} (- 2 y^{3} x)}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$

Langkah 5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$

Langkah 5.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(3 + 5 y^{2} x^{2}) y^{2}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Kalikan $\frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$ dengan $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x y^{2}}{(3 + 5 y^{2} x^{2}) y^{2}}$

Langkah 5.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(3 + 5 y^{2} x^{2}) y^{2}$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x y^{2}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Langkah 5.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{4 x^{3} - 2 y^{3} x y^{2}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Langkah 5.3.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Faktorkan $2 x$ dari $4 x^{3} - 2 y^{3} x y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1.1

Faktorkan $2 x$ dari $4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2}) - 2 y^{3} x y^{2}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Langkah 5.3.3.5.1.2

Faktorkan $2 x$ dari $- 2 y^{3} x y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- y^{3} y^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Langkah 5.3.3.5.1.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- y^{3} y^{2})$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{3} y^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Langkah 5.3.3.5.2

Kalikan $y^{3}$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.2.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - (y^{2} y^{3}))}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Langkah 5.3.3.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{2 + 3})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Langkah 5.3.3.5.2.3

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{5})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{5})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$