Kalkulus Contoh

$3 x^{2} + 2 x y - 6 y^{2} = 1$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 2 x y - 6 y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} + 2 x y - 6 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$6 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$6 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Langkah 2.3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$6 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 x + 2 (x y' + y) - 6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$6 x + 2 (x y' + y) - 6 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 x + 2 (x y' + y) - 6 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$6 x + 2 (x y' + y) - 6 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.4.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$6 x + 2 (x y' + y) - 6 (2 y y')$

Langkah 2.4.4

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$6 x + 2 (x y' + y) - 12 y y'$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$6 x + 2 (x y') + 2 y - 12 y y'$

Langkah 2.5.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$6 x + 2 x y' + 2 y - 12 y y'$

Langkah 2.5.3

Susun kembali suku-suku.

$2 x y' - 12 y y' + 6 x + 2 y$

Langkah 3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 x y' - 12 y y' + 6 x + 2 y = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $6 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y' - 12 y y' + 2 y = - 6 x$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y' - 12 y y' = - 6 x - 2 y$

Langkah 5.2

Faktorkan $2 y'$ dari $2 x y' - 12 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $2 y'$ dari $2 x y'$ .

$2 y' x - 12 y y' = - 6 x - 2 y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $2 y'$ dari $- 12 y y'$ .

$2 y' x + 2 y' (- 6 y) = - 6 x - 2 y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' x + 2 y' (- 6 y)$ .

$2 y' (x - 6 y) = - 6 x - 2 y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $2 y' (x - 6 y) = - 6 x - 2 y$ dengan $2 (x - 6 y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (x - 6 y) = - 6 x - 2 y$ dengan $2 (x - 6 y)$ .

$\frac{2 y' (x - 6 y)}{2 (x - 6 y)} = \frac{- 6 x}{2 (x - 6 y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - 6 y)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y' (x - 6 y)}{2 (x - 6 y)} = \frac{- 6 x}{2 (x - 6 y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - 6 y)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x - 6 y)}{x - 6 y} = \frac{- 6 x}{2 (x - 6 y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - 6 y)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 6 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x - 6 y)}{x - 6 y} = \frac{- 6 x}{2 (x - 6 y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - 6 y)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 6 x}{2 (x - 6 y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - 6 y)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 6 x$ .

$y' = \frac{2 (- 3 x)}{2 (x - 6 y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - 6 y)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (- 3 x)}{2 (x - 6 y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - 6 y)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 3 x}{x - 6 y} + \frac{- 2 y}{2 (x - 6 y)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{3 x}{x - 6 y} + \frac{- 2 y}{2 (x - 6 y)}$

Langkah 5.3.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y$ .

$y' = - \frac{3 x}{x - 6 y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - 6 y)}$

Langkah 5.3.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{3 x}{x - 6 y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - 6 y)}$

Langkah 5.3.3.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{3 x}{x - 6 y} + \frac{- y}{x - 6 y}$

Langkah 5.3.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{3 x}{x - 6 y} - \frac{y}{x - 6 y}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 3 x - y}{x - 6 y}$

Langkah 5.3.3.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x$ .

$y' = \frac{- (3 x) - y}{x - 6 y}$

Langkah 5.3.3.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$y' = \frac{- (3 x) - (y)}{x - 6 y}$

Langkah 5.3.3.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (3 x + y)}{x - 6 y}$

Langkah 5.3.3.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.5.1

Tulis kembali $- (3 x + y)$ sebagai $- 1 (3 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x + y)}{x - 6 y}$

Langkah 5.3.3.2.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{3 x + y}{x - 6 y}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x + y}{x - 6 y}$