Kalkulus Contoh

$\int x^{11} e^{x^{12}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{10}$ sebagai ${u_{1}}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $10$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{10}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int {u_{1}}^{\frac{5}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2.4

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.2

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{12}$ sebagai ${u_{1}}^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $12$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{12}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{6}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.2.4.2.4

Bagilah $6$ dengan $1$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${u_{1}}^{5}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{5}}{2} e^{{u_{1}}^{6}} d u_{1}$

Langkah 2.4

Gabungkan $\frac{{u_{1}}^{5}}{2}$ dan $e^{{u_{1}}^{6}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}}}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}} d u_{1}$

Langkah 4

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {\sqrt{u_{2}}}^{4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ sebagai ${u_{2}}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{2}}$ sebagai ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{4}{2}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2}{1}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.1.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.2

Tulis kembali ${\sqrt{u_{2}}}^{6}$ sebagai ${u_{2}}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{2}}$ sebagai ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $6$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.2.4.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

Langkah 5.4

Gabungkan $\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$ dan $e^{{u_{2}}^{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}}}{2} d u_{2}$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

Langkah 7.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

Langkah 8

Biarkan $u_{3} = {u_{2}}^{3}$ . Kemudian $d u_{3} = 3 {u_{2}}^{2} d u_{2}$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{3} = {u_{2}}^{2} d u_{2}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{3}$ dan $d$ $u_{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u_{3} = {u_{2}}^{3}$ . Tentukan $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}]$

Langkah 8.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 {u_{2}}^{2}$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{3}$ dan $d u_{3}$ .

$\frac{1}{4} \int e^{u_{3}} \frac{1}{3} d u_{3}$

Langkah 9

Gabungkan $e^{u_{3}}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{3}}}{3} d u_{3}$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{3}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Langkah 11.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{1}{12} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Langkah 12

Integral dari $e^{u_{3}}$ terhadap $u_{3}$ adalah $e^{u_{3}}$ .

$\frac{1}{12} (e^{u_{3}} + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

$\frac{1}{12} e^{u_{3}} + C$

Langkah 14

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{12} e^{{u_{2}}^{3}} + C$

Langkah 14.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{12} e^{{({u_{1}}^{2})}^{3}} + C$

Langkah 14.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{1}{12} e^{{({(x^{2})}^{2})}^{3}} + C$