Kalkulus Contoh

$x \sin (y) + y \sin (x) = 1$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x \sin (y) + y \sin (x)) = \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \sin (y) + y \sin (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \sin (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Langkah 2.2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $\sin (y)$ dengan $1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \cos (x) + \sin (x) y'$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y)$

Langkah 3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y) = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y)$ .

$x y' \cos (y) + y \cos (x) + y' \sin (x) + \sin (y) = 0$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $y \cos (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' \cos (y) + y' \sin (x) + \sin (y) = - y \cos (x)$

Langkah 5.2.2

Kurangkan $\sin (y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' \cos (y) + y' \sin (x) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Langkah 5.3

Faktorkan $y'$ dari $x y' \cos (y) + y' \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $x y' \cos (y)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $y' \sin (x)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x))$ .

$y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$ dengan $x \cos (y) + \sin (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$ dengan $x \cos (y) + \sin (x)$ .

$\frac{y' (x \cos (y) + \sin (x))}{x \cos (y) + \sin (x)} = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x \cos (y) + \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x \cos (y) + \sin (x))}{x \cos (y) + \sin (x)} = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Langkah 5.4.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} - \frac{\sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Langkah 5.4.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- y \cos (x) - \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Langkah 5.4.3.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- y \cos (x)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Langkah 5.4.3.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- \sin (y)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - (\sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Langkah 5.4.3.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (y \cos (x)) - (\sin (y))$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x) + \sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Langkah 5.4.3.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.5.1

Tulis kembali $- (y \cos (x) + \sin (y))$ sebagai $- 1 (y \cos (x) + \sin (y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \cos (x) + \sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Langkah 5.4.3.2.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y \cos (x) + \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cos (x) + \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$