Kalkulus Contoh

$x + 2 y = \sqrt{y}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 2 y = y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x + 2 y) = \frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2 y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$1 + 2 y'$

Langkah 3.3

Susun kembali suku-suku.

$2 y' + 1$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 4.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 4.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 4.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 4.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 4.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 4.7

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 4.8

Pindahkan $y^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 4.9

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

Langkah 4.10

Gabungkan $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ dan $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y' + 1 = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan kedua ruas dengan $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 y' + 1) (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Sederhanakan $(2 y' + 1) (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2 y' (2 y^{\frac{1}{2}}) + 1 (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \cdot 2 y' y^{\frac{1}{2}} + 1 (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.2.2

Kalikan $2 y^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$2 \cdot 2 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Sederhanakan $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = y'$

Langkah 6.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kurangkan $2 y^{\frac{1}{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} - y' = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.2

Faktorkan $y'$ dari $4 y' y^{\frac{1}{2}} - y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Faktorkan $y'$ dari $4 y' y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}}) - y' = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.2.2

Faktorkan $y'$ dari $- y'$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (4 y^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.3

Bagi setiap suku pada $y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ dengan $4 y^{\frac{1}{2}} - 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ dengan $4 y^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1)}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Langkah 6.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1)}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Langkah 6.3.3.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Langkah 6.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$