Kalkulus Contoh

$\ln (x y) = e^{x + y}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Langkah 2.6.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Langkah 2.6.2.2

Gabungkan $\frac{x}{x y}$ dan $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Langkah 2.6.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Langkah 2.6.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Langkah 2.6.2.4

Gabungkan $\frac{1}{x y}$ dan $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Langkah 2.6.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Langkah 2.6.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$e^{x + y} (1 + y')$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $e^{x + y} (1 + y')$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tulis kembali.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0 + 0 + e^{x + y} (1 + y')$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

Langkah 5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} \cdot 1 + e^{x + y} y'$

Langkah 5.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Kalikan $e^{x + y}$ dengan $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + e^{x + y} y'$

Langkah 5.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x + y} + e^{x + y} y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + y' e^{x + y}$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang mengandung $y'$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $y' e^{x + y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' e^{x + y} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.2

Untuk menuliskan $- y' e^{x + y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} - y' e^{x + y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.3

Gabungkan $- y' e^{x + y}$ dan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{- y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{y' - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.5

Faktorkan $y'$ dari $y' - y' e^{x + y} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Naikkan $y'$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{{y'}^{1} - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.5.2

Faktorkan $y'$ dari ${y'}^{1}$ .

$\frac{y' \cdot 1 - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.5.3

Faktorkan $y'$ dari $- y' e^{x + y} y$ .

$\frac{y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.5.4

Faktorkan $y'$ dari $y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.6

Untuk menuliskan $\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.7

Untuk menuliskan $\frac{1}{x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.8

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $y x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.8.1

Kalikan $\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.8.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.8.3

Susun kembali faktor-faktor dari $y x$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{x y} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.10.2

Kalikan $y'$ dengan $1$ .

$\frac{(y' + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.10.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{(y' - y' e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.10.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y} = e^{x + y}$

Langkah 5.2.11

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y}$ .

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} = e^{x + y}$

Langkah 5.3

Kalikan kedua ruas dengan $x y$ .

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Sederhanakan $\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

Langkah 5.4.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' x - y' y x e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

Langkah 5.4.1.1.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1.2.1

Pindahkan $y$ .

$y' x - y' x y e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

Langkah 5.4.1.1.2.2

Pindahkan $- y' x y e^{x + y}$ .

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = e^{x + y} (x y)$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x + y} (x y)$ .

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y}$

Langkah 5.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' x - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

Langkah 5.5.2

Faktorkan $y' x$ dari $y' x - y' x y e^{x + y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Faktorkan $y' x$ dari $y' x$ .

$y' x \cdot 1 - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

Langkah 5.5.2.2

Faktorkan $y' x$ dari $- y' x y e^{x + y}$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Langkah 5.5.2.3

Faktorkan $y' x$ dari $y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y})$ .

$y' x (1 - 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Langkah 5.5.3

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Langkah 5.5.4

Bagi setiap suku pada $y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ dengan $x (1 - y e^{x + y})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ dengan $x (1 - y e^{x + y})$ .

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Langkah 5.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Langkah 5.5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Langkah 5.5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - y e^{x + y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Langkah 5.5.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Langkah 5.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{x y e^{x + y} - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Langkah 5.5.4.3.2

Faktorkan $y$ dari $x y e^{x + y} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y e^{x + y}$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Langkah 5.5.4.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1}{x (1 - y e^{x + y})}$

Langkah 5.5.4.3.2.3

Faktorkan $y$ dari $y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$