Kalkulus Contoh

$y^{5} + x^{2} y^{3} = 1 + x^{4} y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{5} + x^{2} y^{3}) = \frac{d}{d x} (1 + x^{4} y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{5} + x^{2} y^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Langkah 2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$5 y^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$5 y^{4} y' + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y^{3}$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x)$

Langkah 2.3.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$5 y^{4} y' + 3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x)$

Langkah 2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{3}$ .

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{4} y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4} y]$

Langkah 3.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4} y]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

$0 + x^{4} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$0 + x^{4} y' + y \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$0 + x^{4} y' + y (4 x^{3})$

Langkah 3.2.4

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $y$ .

$0 + x^{4} y' + 4 y x^{3}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tambahkan $0$ dan $x^{4} y' + 4 y x^{3}$ .

$x^{4} y' + 4 y x^{3}$

Langkah 3.3.2

Susun kembali suku-suku.

$x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $x^{4} y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - x^{4} y' = 4 x^{3} y$

Langkah 5.2

Kurangkan $2 y^{3} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' - x^{4} y' = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Langkah 5.3

Faktorkan $y'$ dari $5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' - x^{4} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $5 y^{4} y'$ .

$y' (5 y^{4}) + 3 x^{2} y^{2} y' - x^{4} y' = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $3 x^{2} y^{2} y'$ .

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2}) - x^{4} y' = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $- x^{4} y'$ .

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2})$ .

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) + y' (- x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) + y' (- x^{4})$ .

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$ dengan $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$ dengan $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}$ .

$\frac{y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} = \frac{4 x^{3} y}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} = \frac{4 x^{3} y}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3} y}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{4 x^{3} y - 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Langkah 5.4.3.2

Faktorkan $2 x y$ dari $4 x^{3} y - 2 y^{3} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Faktorkan $2 x y$ dari $4 x^{3} y$ .

$y' = \frac{2 x y (2 x^{2}) - 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Langkah 5.4.3.2.2

Faktorkan $2 x y$ dari $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{2 x y (2 x^{2}) + 2 x y (- y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Langkah 5.4.3.2.3

Faktorkan $2 x y$ dari $2 x y (2 x^{2}) + 2 x y (- y^{2})$ .

$y' = \frac{2 x y (2 x^{2} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y (2 x^{2} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$