Kalkulus Contoh

$y^{4} - 2 y = 4 x^{3} + x$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{4} - 2 y) = \frac{d}{d x} (4 x^{3} + x)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{4} - 2 y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 y^{3} y' - 2 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 y^{3} y' - 2 y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$12 x^{2} + 1$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$4 y^{3} y' - 2 y' = 12 x^{2} + 1$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $2 y'$ dari $4 y^{3} y' - 2 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Faktorkan $2 y'$ dari $4 y^{3} y'$ .

$2 y' (2 y^{3}) - 2 y' = 12 x^{2} + 1$

Langkah 5.1.2

Faktorkan $2 y'$ dari $- 2 y'$ .

$2 y' (2 y^{3}) + 2 y' \cdot - 1 = 12 x^{2} + 1$

Langkah 5.1.3

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' (2 y^{3}) + 2 y' \cdot - 1$ .

$2 y' (2 y^{3} - 1) = 12 x^{2} + 1$

Langkah 5.2

Bagi setiap suku pada $2 y' (2 y^{3} - 1) = 12 x^{2} + 1$ dengan $2 (2 y^{3} - 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (2 y^{3} - 1) = 12 x^{2} + 1$ dengan $2 (2 y^{3} - 1)$ .

$\frac{2 y' (2 y^{3} - 1)}{2 (2 y^{3} - 1)} = \frac{12 x^{2}}{2 (2 y^{3} - 1)} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y' (2 y^{3} - 1)}{2 (2 y^{3} - 1)} = \frac{12 x^{2}}{2 (2 y^{3} - 1)} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{12 x^{2}}{2 (2 y^{3} - 1)} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y^{3} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{12 x^{2}}{2 (2 y^{3} - 1)} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 5.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{12 x^{2}}{2 (2 y^{3} - 1)} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $12 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 y^{3} - 1)} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 y^{3} - 1)} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 5.2.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{6 x^{2}}{2 y^{3} - 1} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 5.2.3.2

Untuk menuliskan $\frac{6 x^{2}}{2 y^{3} - 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{2 y^{3} - 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 5.2.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(2 y^{3} - 1) \cdot 2$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1

Kalikan $\frac{6 x^{2}}{2 y^{3} - 1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{6 x^{2} \cdot 2}{(2 y^{3} - 1) \cdot 2} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 5.2.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(2 y^{3} - 1) \cdot 2$ .

$y' = \frac{6 x^{2} \cdot 2}{2 (2 y^{3} - 1)} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 5.2.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{6 x^{2} \cdot 2 + 1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 5.2.3.5

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$y' = \frac{12 x^{2} + 1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 x^{2} + 1}{2 (2 y^{3} - 1)}$