Kalkulus Contoh

$y^{2} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 1}{x + 1})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x - 1$ dan $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.4.2

Kalikan $x + 1$ dengan $1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.7

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x + 1 - x - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gabungkan suku balikan dalam $x + 1 - x - - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.1.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ dengan $2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ dengan $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Langkah 5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Langkah 5.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Langkah 5.3.2

Gabungkan.

$y' = \frac{2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

Langkah 5.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

Langkah 5.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2} (y)}$

Langkah 5.3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{1}{{(x + 1)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{1}{y {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y {(x + 1)}^{2}}$